Determination du logarithme

Mathieu
Mathieu
dans Analyse
Bonjour,

Je me pose une question, si on a une fonction $f$ holomorphe sur $U$ ouvert simplement connexe et ne s' annulant jamais, on sait qu' il existe une fonction $g$ holomorphe telle que $exp (g) = f$ sur $U$.

On dit alors que $g$ est une determination du logarithme.
Cela veut t-il dire que, $\exists \alpha$ tq $\forall z\in U$ $g(z) = ln |f(z)| + i\theta$ où $\theta \in ]\alpha,\alpha+2\pi]$ ?

Merci.

Réponses

  • Mathieu
    Mathieu
    Et j' ai aussi une autre question, si on a $f$ homolorphe sur $U$ ouvert, continue sur l' adhérence de $U$
    $g$ holomorphe sur $V$ ouvert, continue sur l' adhérence.
    Si $U \cap V \not = \emptyset$ et $f$ et $g$ coincident sur $U \cap V$

    alors la fonction $h$ définie par $h(z) = f(z)$ si $z \in U$ et $h(z) = g(z)$ si $z \in V$ et $h(z) = f(z) = g(z)$ si $z \in U\cap V$ est holomorphe sur $U \cup V$ ?
  • gb0
    gb0
    Pour la question sur la détermination du logarithme, la réponse est oui.

    Pour la seconde, reprends la définition d'une fonction holomorphe, et tiens compte du fait que $f$ et $g$ sont continues sur les adhérences de $U$ et $V$ respectivement.
  • Mathieu
    Mathieu
    Oui mais où est l erreur dans le raisonnement suivant:

    Soit $z_0 \in U \cup V$
    1er cas: $z_0 \in U$

    Alors, il existe une petite boule $B(z_0,r) \subset U$
    Et alors $f$ est dérivable au sens complexe au point $z_0$
    $\forall z$ tq $|z-z_0|$ assez petit on a $\frac {f(z)-f(z_0)}{z-z_0} \longrightarrow f' (z_0)$
    Donc $\frac {h(z)-h(z_0)}{z-z_0} \longrightarrow f' (z_0)$ et donc $h$ est dérivable au sens complexe sur un voisinage de $z_0$ et $h'(z_0) = f'(z_0)$

    De même si $z_0 \in V$

    Donc $h$ est holomorphe sur $U \cup V$ :S
  • gb0
    gb0
    Tu as effectivement raison, il n'y a pas de problème.
    Le fait que tu poses la question a troublé ma vision de la situation.
  • Mathieu
    Mathieu
    Oui, donc si $f$ holomorphe sur $U$, $g$ holomorphe sur $V$, $U$ et $V$ 2 ouverts alors la fonction $h$ définie par $h = f$ sur $U$ et $h = g$ sur $V$, est, si elle est bien définie (cad $f$ et $g$ coincident sur $U\cap V$), holomorphe sur $U \cup V$
  • gilles benson
    gilles benson
    bonsoir, ce n'est qu'une application du principe selon lequel une fonction holomorphe est nulle si l'ensemble de ses zéros admet un point d'accumulation
    ce qui donne lieu au prolongement analytique et se trouve au départ d'une des possibilités de définir un certain type de surfaces de Riemann.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • gb0
    gb0
    Oui, c'est une des méthodes pour prolonger la fonction $\Gamma$, à partir de la fonction des compléments.

    On définit $\Gamma(z) = \int_0^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}\,dt$, holomorphe sur l'ouvert $U$ défini par $\textrm{Re}(z) > 0$.

    Par $f(z) = \dfrac{\pi}{\Gamma(1-z)\sin(\pi z)}$, on définit une fonction holomorphe sur l'ouvert $V$ défini par $\textrm{Re}(z) < 1$ à l'exlusion des entiers négatifs.

    La formule des compléments montre que $f$ et $\Gamma$ coïncident sur $U \cap V$, donc le recollement de $f$ et $\Gamma$ est holomorphe sur $\C\setminus\Z_{-}$.
  • Mathieu
    Mathieu
    Merci :)
  • Archimède
    Archimède
    Pour la question sur la détermination du logarithme, la réponse est non.

    En effet prenons $U=\C$, $f(z)=e^z$.
    Alors $g(z)=z$ convient.
    Mais la partie imaginaire de $g(z)$ parcourt $\R$ en entier !
  • Mathieu
    Mathieu
    Ah oui effectivement ...
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