Une histoire de Card

Avec ma méthode, si j'eus dénombré les matrices de taille $(p,n)$ de rang $r$, j'en eus trouvé $\dfrac{L_{n-r}(n)}{L_{n-r}(n-r)}.L_r(p)$. Par transposition, il y en a autant que de matrices de taille $(p,n)$, j'ai donc :
$$\dfrac{L_{p-r}(p)}{L_{p-r}(p-r)}.L_r(n) = \dfrac{L_{n-r}(n)}{L_{n-r}(n-r)}.L_r(p)$$
et j'aurais pu donner une expression symétrique du résultat sous la forme
$$\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L_{p-r}(p)}{L_{p-r}(p-r)}.L_r(n) + \dfrac{L_{n-r}(n)}{L_{n-r}(n-r)}.L_r(p)\right)$$
ou encore
$$\sqrt{\dfrac{L_{p-r}(p)}{L_{p-r}(p-r)}.L_r(n).\dfrac{L_{n-r}(n)}{L_{n-r}(n-r)}.L_r(p)}$$
ce qui n'est pas nécessairement plus heureux.
En développant $L_i(j)$, il y a peut-être des simplifications, et une expression "harmonieuse" du résultat, mais j'ai la flemme.

Bien d'accord avec toi gilles, je mets ce fil dans mes favoris. Merci gb !

Bonjour,

Soit A l' ensemble des matrices cherchées.

A chaque matrice de A, on associe le sev engendré par ses vecteurs colonnes.

On obtient ainsi une surjection f de A dans V, ensemble des sev de Fq^n de dimension r.

CardV = L_r (n) / L_r (r)

Ainsi CardA = CardV * K où K est le nombre d'antécédents par f d'un élément quelconque de V.

K est le nombre de systèmes de p vecteurs dans un espace de dimension r engendrant cet espace.

Donc K est le nombre de matrices à r lignes et p colonnes de rang r.
K est aussi le nombre de matrices de rang r à p lignes et r colonnes.
K est le nombre de sytèmes de r vecteurs libres dans un espace de dimension p.

K = L_r (p)

Amicalement.

pour le PS, je me répond : c'est mon pc (maintenant arrangé). Ce forum est au contraire beaucoup plus rapide et les smileys c'est bien cool B-) . Et de pouvoir modifier ses messages aussi