exos d'algèbre

Bonjour,

je voulais déjà remercier Manu pour les changements sur le forum, en particulier la rapidité.
Je me pose quelques questions sur des exercices:
1. Je considère l'idéal I={ P appartenant à Q[X] tel que P(3)=0 }
Je veux montrer que I est un idéal premier et maximal.
Pour montrer que I est premier, je n'ai pas de problème vu que Q[X] est intègre.
Pour montrer que I est maximal, je raisonne ainsi:
Q est un corps donc Q[X] est principal, donc tout idéal premier est maximal, donc I est maximal.

Je voudrais savoir si mon raisonnement est juste, et si on peut montrer autrement la maximalité de I.
J'ai voulu essayer avec la définition:
soit J un idéal de Q[X] contenant strictement I.
Alors pour tout polynome de Q[X] inclus dans J, ce polynome est divisible par (X-3).
Mais je n'arrive pas à montrer que J=Q[X]


2. Je ne sais pas quels sont les idéaux de Z[X]. J'ai essayé d'utiliser le fait que les idéaux de Z sont les mZ, avec m entier naturel, mais je ne vois pas quoi en faire.

3.Je veux montrer qu'un élément irréductible n'est pas forcément premier.
J'ai trouvé l'exemple suivant dans un livre:
on considère l'idéal de C[X] engendré par C,X et X²
Alors X² est irréductible mais non premier.
J'ai montré que X² n'est pas premier, c'est pour X² irréductible que je me pose une question:
X² n'est pas inversible.
X²=1.X² et 1 est inversible.
X²=X.X mais X n'est pas inversible das C[X] ?? Donc je ne comprends pas pourquoi X² est irréductible.


4. Je n'arrive pas à montrer que les anneaux Z et Z(X]/(X²+1) sont isomorphes.

Séverine

Réponses

  • Pour le 1) tu peux montrer que $X-3$ est un polynôme irréductible qui engendre $I$ et que $I=(X-3)$. Puis comme $\mathbb{Q}[X]$ est principal alors $I$ est maximal
    (en fait j'ai utilisé le fait que dans un anneau principal tout idéal maximal est engendré par un élément irréductible) mais ton raisonement est juste puisque dans un anneau principal tout idéal premier est maximal

    2) De tels idéaux sont de la forme $(P(X))$ ou $P$ est un polynôme.

    3)$X²$ n'est pas irréductible dans $\mathbb{C}$ puisque ce corps est algébriquemant clos (ie: tout polynôme est scindé)

    4)Tu prends le morphisme qui envoit $x$ sur $i$ et $a\in\mathbb{Z}$ sur $a$
    et tu vois que son noyau est $x²+1$ etc..
  • pour le $1$ tu considère le morphisme de $\Q[X]$ ans $\Q$ qui au polynôme $P(X)$ associe $P(3)$, c'est un morphisme surjectif et son noyau est ..., c'est la même méthode pour le $4$.

    pour le $2$ geo a tort puisque $\Z[X]$ n'est pas vraiment principal (car $\Z$ n'est pas un corps), par contre tu peux montrer que les idéaux de $\Z[X]$ sont de la forme $(n,P(X))$ en considérant l'intersection de cet idéal avec $\Z$.

    pour le $3$ le fait que $X^2$ ne soit pas irréductible n'a strictement rien à voir avec le fait que $\C$ est algébriquement clos, $X^2 = X \times X$ ..., tu peux essayer avec $\C[X,Y,Z)$ et l'idéal $(XY-Z^2)$
  • en fait pour le $2$ j'ai oublié de préciser les idéaux premiers de $\Z[X]$, pour ce qui est d'un idéal quelconque par contre je ne sais pas
  • Pour le 3) le fait que $\mathbb{C}$ soit algebriquement clos implique que tout élément irréductible de $\mathbb{C}[X]$ est de degré au plus 1

    Pour le 2) je n'ai pas fait attention
  • certes mais c'est un peu écraser une mouche avec une marteau, c'est comme si tu disais que $4$ n'est pas premier car $\Z/4\Z$ n'est pas intègre.
  • bonjour, $I$ est maximal si , je crois me souvenir, que $A/I$ est un corps; or:

    $$ \forall P \in \Q [X] \text{ , } P(X) = A(X)(X-3) + P(3) $$

    division euclidienne et donc $ \Q[X] /I \text{ est isomorphe à } \Q $
    qui est un corps.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Merci pour vos réponses.
    En fait, pour la 2., on a vu que les idéaux premiers de Z[X] sont {(p),(P(x)),(p)+(Q(X)) } avec p premiier,P polynome irréductible de Z[X] et Q irréductible ds Z[X] tel que la réduction de Q modulo P est irréductible ds Fp[X]
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