Définition injection canonique.

Sirhc
Sirhc
dans Fondements et Logique
Bonjour.

Pouvez-vous m'expliquer cette définition :

Soit E un ensemble et f une application de E dans lui-même.
Soit A inclu dans E.
L'injection canonique de A dans E est la restriction de IdE à A.

Si je comprends bien une injection canonique est une restriction de l'identité à un sous-ensemble et donc IdE est une injection canonique sur E.

Christophe.

Réponses

  • gb0
    gb0
    Oui $Id_E$ est l'injection canonique de $E$ dans lui-même !!
  • Sedanais
    Sedanais
    canonique : se dit de la forme naturelle, intrinsèque, principale de certains êtres ou de certaines représentations mathématiques (LAROUSSE).

    L'injection canonique de A dans E, c'est l'application qui a tout a de A associe a de E.

    La base canonique de R^3, c'est ((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)).

    etc.
  • Sirhc
    Sirhc
    Merci pour vos réponses.

    Christophe.
  • jobherzt
    jobherzt
    ce que ca dit c'est que c'est souvent "pratique" de voir l'inclusion sous la forme d'une application.
  • abdelkader1
    abdelkader1
    la definition d'une injection canonique
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Salut, et encore merci pour le poisson.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • jobherzt
    jobherzt
    Une pizza 3 fromages. :)
  • ev
    ev
    Bonjour Nicolas.

    Douglas Adams ?

    amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • jamie
    jamie
    Bonjour, du coup j'imagine qu'il y a un abus de notation dans le RDO puisqu'il appelle injection canonique l'application qui a $i_k:x_k \in E_k \mapsto (0,\ldots,x_k,\ldots,0)\in E_1\times\ldots\times E_n $
  • gb
    gb
    Bonjour,

    Il n'y a pas d'abus de notation, c'est bien une injection de \(E_k\) dans \(E_1 \times \dots \times E_n\).
    Elle est canonique au sens de naturelle et intrinsèque.

    N.B. : pour le produit cartésien, on utilise \times.
  • namsaknoi
    namsaknoi
    oui gb, mais peut-on dire que $E_k \subset E_1\times\ldots\times E_n$? Ça n'a pas de sens si?

    Cordialement
  • Bruno
    Bruno
    N'est-ce pas un peu tard pour poser cette question ? La dernière intervention date d'il y a deux ans.

    Bruno
  • Dom
    Dom
    C'est ce que je me suis dit aussi.
    Cependant on reproche parfois aux participants de créer des "nouveaux" sujets qui existent quelque part.
    Au moins l'effort de chercher a eu lieu ;-)

    Mais je comprends, à vrai dire je suis indécis sur la question.
  • Bruno
    Bruno
    D'accord, voici comment je vois les choses :

    L'application $i_k : E_k \longrightarrow E_1 \times \cdots \times E_n$ qui à $x \in E_k$ associe $i_k(x) = (0,\cdots,x,\cdots,0)$ $($avec quelques aménagements de notations si $k \in \{1,n\})$ est injective, c'est notre injection canonique ; l'image de $i_k$ est isomorphe à $E_k$ (notons que les $E_i$ ont au moins une structure de groupe pour posséder un élément neutre pour une loi ; sinon "adieu le canonique") ; il n'y a pas d'incohérence et pleins d'avantages à identifier $E_k$ et l’image de $i_k$ ; avec un $\flat$ : ne jamais confondre la carte, l'image de $i_k$ avec le territoire $E_k$. Malgré son apparence contradictoire, c'est cohérent : identifier ne signifie pas confondre : dans le premier cas, on parle structure, dans le second on parle ensemble.

    Pour revenir à la question de namsaknoi, tout dépend du niveau de langage : au sens ensembliste, il a raison ; au sens structurel, il s'interdit des économies de pensée et de langage et à ce titre, il a tort :-).

    Bruno
  • christophe c
    christophe c
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,347644,1263079#msg-1263079

    La question a un sens, et dans le cas général la réponse est non. Il n'y a aucun rapport entre le fait qu'il y ait une injection de $A$ dans $B$ et le fait que $A\subset B$ (aussi "canonique" :-D que soit ton injection).

    Le fait que certains livres parlent d'injection canonique de $E$ dans $E\cup F$ est juste dû au fait que si on met dans la définition d'une application ou d'une fonction la notion de triplet $(depart, arrivee, graphe)$ (et je pense que c'est une très mauvaise idée, mais peu importe), alors on ne peut plus dire que l'identité est cette "injection canonique", puisque l'identité est (selon cette mauvaise définition) $(E\cup F,E\cup F, =_{|(E\cup F)^2})$ alors que "l'injection canonique" (que certains appellent à tort "l'inclusion") est $(E,E\cup F, =_{|E\times (E\cup F)})$.

    Quant à ton application $x\mapsto (0,0,,x)$ elle n'a rien de plus canonique que $x\mapsto (57,2987135,x)$ à moins de donner à $0$ un statut spécial (et donc de parler dans un contexte réduit)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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