Changement de base

lol · January 2007

Bonjour à tous
Il y a une chose que je ne comprends pas ce sont les changements de base.
On a B la base canonique et B' = {v1, V2, v3, v4}. B' est une nouvelle base, on note x',y',z',t' les coordonnées d'un vecteur quelconque u=(x,y,z,t) dans la base B'.
On me demande de calculer x,y,z,t en fonction de x',y',z',t', je n'y comprends rien, quelqu'un pourrait-il me faire un résumé sur les changements de base.
Merci beaucoup.
C'est urgent merci.
Merci.

Alexandre Vandeville · January 2007

Si tu te donnes un espace vectoriel $E$ et $(e_1,...,e_n)$, $(e'_1,...e'_n)$ deux bases de $E$. Alors par définition, on appelle matrice de passage de la base $(e_1,...,e_n)$ à la base $(e'_1,...e'_n)$ la matrice $M$ (de type $(n,n)$) dont la $i^{\mbox{ème}}$ colonne est formée des composantes de $e'_i$ par rapport à la base $(e_1,...,e_n)$. En fait $M$ transforme $e_1$ en $e'_1$, $e_2$ en $e'_2$,...

lol · January 2007

Mais par exemple on a une matrice P dont les colonnes sont des vecteurs on a V1=(1,4,1,2), c'est la première colonne de la matrice P on a V2=(1,1,1,1), V3=(0,2,1,0) et enfin v4=(1,0,0,1)
on note B'=(v1,v2,v3,v4) la nouvelle base et B l'ancienne base.
On note x',y',z',t' les coordonnées d'un vecteur (x,y,z,t) dans la base B'.
On me demande d'écrire x,y,z,t en fonction de x',y',z',t'.
Comment faire, je n'y comprends vraiment rien.
Merci.

lol · January 2007

En gros on va écrire : X = P.X'
avec X = (x,y,z,t) et X' = (x',y',z',t').
C'est ça ?

Sedanais · January 2007

Je me lance...
Le fait que le vecteur ait pour coordonnées (x',y',z',t') dans la nouvelle base signifie qu'il est égal à x'V1+y'V2+z'V3+t'V4=x'(1,4,1,2)+y'(1,1,1,1)+z'(0,2,1,0)+t'(1,0,0,1).
Ensuite on développe et l'on a x=x'+y'+t', etc.
On obtient exactement ce que tu as écris : X=PX'.

Changement de base

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