TF d'une proba diffuse

Vincent T
Vincent T
dans Analyse
Salut,

Je me pose la question suivante :

Est-ce que la tranformée de Fourier d'une proba diffuse tend vers 0 en +/- l'infini ?

Si vous avez des idées ...

Merci bien

Réponses

  • Vincent T
    Vincent T
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    \begin{document}

    Bon je vais être plus précis, vu que ça ne motive pas les foules.\\
    On se donne donc une mesure de probabilité $\mu$ sur $[0,1]$ muni des boréliens. On définit sa transformée de Fourier par :
    $$\forall x\in\mathbb{R}, \hat{\mu}(x)=\int_0^1 \exp(itx)d\mu(t)$$
    La question est alors la suivante : sous l'hypothèse $\mu$ diffuse (i.e. sans atome, i.e. $\mu$ ne charge pas les points), $\hat{\mu}$ tend-elle vers $0$ quand $x$ tend vers +/- l'infini ?

    Dans le même genre, si on définit pour $n\in\mathbb{Z}$ le $n$-ème coefficient de Fourier de $\mu$ par :
    $$c_n(\mu)=\int_0^1 \exp(-int)d\mu(t)$$
    La question devient : cette suite tend-elle vers $0$ quand $n$ tend vers +/- l'infini.

    Merci de donner vos idées.

    Vincent


    \end{document}
  • Vincent T
    Vincent T
    Bon je vais être plus précis, vu que ça ne motive pas les foules.\\
    On se donne donc une mesure de probabilité $\mu$ sur $[0,1]$ muni des boréliens. On définit sa transformée de Fourier par : $$\forall x\in\mathbb{R}, \hat{\mu}(x)=\int_0^1 \exp(itx)\mathrm d\mu(t) $$ La question est alors la suivante : sous l'hypothèse $\mu$ diffuse (i.e. sans atome, i.e. $\mu$ ne charge pas les points), $\hat{\mu}$ tend-elle vers $0$ quand $x$ tend vers +/- l'infini ?

    Dans le même genre, si on définit pour $n\in\mathbb{Z}$ le $n$-ème coefficient de Fourier de $\mu$ par : $$
    c_n(\mu)=\int_0^1 \exp(-int)\mathrm d\mu(t)
    $$ La question devient : cette suite tend-elle vers $0$ quand $n$ tend vers $\pm\infty$.

    Merci de donner vos idées.

    Vincent
  • Vincent T
    Vincent T
    Pour alimenter le débat :

    Si $\mu$ est absolument continue par rapport à Lebesgue, c'est bon. C'est le lemme de Riemann Lebesgue. Donc en fait, dans le cas où, par exemple la fonction de répartition de notre mesure est de classe $C^1$, c'est bon.
    D'où l'idée (si on pense que le résultat est faux) de chercher un contre exemple avec une fonction de répartition type escalier du diable' sur $[0,1]$.

    Ca donne des idées à des gens ?
  • Sedanais
    Sedanais
    Bonjour.
    Ta définition de la transformée de Fourier est fausse : il faut intégrer sur R tout entier (pas seulement sur [0,1]).
    Si la probabilité a une densité, alors la transformée de Fourier tend vers 0 en l'infini (lemme de Riemann Lebesgue).
    Dans le cas contraire c'est faux. Prendre par ex l'indicatrice de 1, dont la transformée de Fourier vaut exp(ix), et ne tend clairement pas vers 0.
  • egoroff
    egoroff
    Sedanais, justement Vincent T suppose que sa mesure est diffuse sans être absolument continue.
  • egoroff
    egoroff
    ..et puis Vincent précise aussi que sa mesure est portée par $[0,1]$ donc en l'occurrence sa définition de la transformée de Fourier fonctionne !

    On pourrait essayer de montrer que la fonction de répartition de $\mu$ peut être approchée uniformément par des fonctions de répartitions $C^1$ ; ça doit être vrai mais je ne suis pas sûr que ça soit suffisant pour en déduire le résultat. Justement tu as essayé de de calculer la transformée de Fourier de la mesure "du diable" de Cantor ?
  • Vincent T
    Vincent T
    Salut egoroff,

    Merci de participer

    Alors, approcher par du $C^1$, c'est une idée, mais il faut controler à quelle vitesse on approche sinon on n'obtient pas le résultat. C'était plus ou moins l'objet de mon autre post sur 'Estimation d'une intégrale' ... Cette piste me semble difficile à exploiter.

    Concernant le Diable, je n'ai pas encore eu le temps de m'y intéresser, c'était la piste la plus crédible que j'avais en tête, et que j'ai soumis dans le forum.

    Zou, en cours !

    Bonne journée

    Vincent
  • egoroff
    egoroff
    Oui effectivement sans estimation plus précise le résultat n'est pas assuré. Pour la TF de la mesure de Cantor ça n'a pas l'air simple ; en notant $K_n$ la $n$-ième itération (composée de $2^n$ segments de longueur $3^n$) alors il me semble que la TF de la proba uniforme sur $K_n$ est sauf erreur :
    $$\varphi_n(x)=\frac{2}{x} \left( \frac{3}{2} \right)^n \sin \frac{x}{3^n} \sum_{k=1}^{2^n} e^{ixc_{n,k}}$$
    en notant $c_{n,k}$ les points médians des $2^n$ segments formant $K_n$. On peut estimer grossièrement la somme en y mettant en facteur $e^{ix/2}$ pour qu'il reste une somme de cosinus, on en déduit sauf erreur que $|\varphi_n(x)| \leq \frac{2}{x}$ et donc le résultat sur la TF de la mesure de Cantor est vrai.
  • alekk
    alekk
    et si on prend $\rho_{\epsilon}$ une approximation de l'identité, et on définit une mesure approchée $\mu_{\epsilon} = f_{\epsilon} dx$ où $f_{\epsilon}(x)=\int_{\mathbb{R}} \rho_{\epsilon}(x-t) d\mu(t)$. Cette mesure aprochée est absolument continue donc $\hat{\mu_{\epsilon}}$ tends vers $0$ à l'infini. Pour conclure il faudrait montrer que la variation totale entre $\mu$ et $\mu_{\epsilon}$ peut être rendue arbitrairement petite, mais je ne sais pas si c'est vrai ..
  • Vincent T
    Vincent T
    Pour rejoindre ton idée Alekk, et sauf erreur de ma part, si on arrive à trouver une suite de proba pour laquelle on a le résultat (par exemple cas à densité), qui converge en loi vers notre proba $\mu$, le résultat découle alors par exemple du théorème de convergence dominée.

    Le problème devient donc : peut-on trouver une suite de proba à densité qui converge en loi vers notre proba diffuse initiale ?

    Et je crois bien que ton approx de dirac nous permet de conclure, i.e. $\mu_{\epsilon}$ tend en loi vers $\mu$.

    Quelqu'un confirme ?
  • egoroff
    egoroff
    La condition $\mu_n$ converge en loi vers $\mu$ est plus faible que la condition $F_{\mu_n}$ converge uniformément vers $F_{\mu}$, donc si ça ne marche pas avec la seconde je ne vois pas pourquoi ça marcherait avec la première ; quel rapport avec le théorème de convergence dominée ? Désolé si je suis à côté de la plaque.

    Sinon ça doit être vrai que la convolée de $\mu$ avec $\rho_{\varepsilon} dx$ converge en loi vers $\mu$ vu que c'est vrai au sens des distributions.
  • Vincent T
    Vincent T
    Non tu as raison, il faut plutôt un coup de double limite et donc la CVU dont tu parles.
    Toutes mes excuses !
  • egoroff
    egoroff
    Pas de problème. Ce qu'il y a de bien avec le nouveau forum c'est que si on raconte n'importe quoi on peut toujours revenir modifier ses écrits lorsqu'on s'en aperçoit !

    Alekk semble dire qu'il est suffisant de montrer que la variation totale de $\mu_{\varepsilon}-\mu$ tend vers $0$, mais je ne sais pas pourquoi ni comment.
  • alekk
    alekk
    si $\mu_{\varepsilon} - \mu$ tends vers $0$ au sens de la variation totale, n'a t on pas:
    $\| F\mu - F \mu_{\varepsilon} \|_{\infty} \leq \|\mu_{\varepsilon} - \mu \|$ ?
    Si c'est vrai, alors pour tout $n>0$, on choisit $\varepsilon$ assez petit pour que $\|\mu_{\varepsilon} - \mu \| < \frac{1}{n}$. Alors pour $x$ assez grand on aura bien $|F \mu (x)| \leq \frac{2}{n}$
  • egoroff
    egoroff
    OK mais alors en revient encore à montrer que les fonctions de répartition convergent uniformément. Sauf erreur on trouve que $\displaystyle \left( F_{\mu} - F_{\mu_{\varepsilon}} \right) (x) = \int_{\R} \left( H_x - H_x \star \rho_{\varepsilon} \right) (t) \, d \mu(t)$ en notant $H_x(t)=1 \! \! 1_{t \leq x}$. Mais comment en déduire que ceci tend uniformément vers $0$ ? Je ne suis pas sûr que $H_x \star \rho_{\varepsilon}$ converge dans $L^{\infty}$ vers $H_x$. Je commence à m'embrouiller, c'est dur dur la rentrée.
  • Vincent T
    Vincent T
    Alors, alors, alors !
    Et bien le résultat est faux, et je peux maintenant l'affirmer grace à la mesure uniforme sur le Cantor (ou de manière équivalente, la mesure ayant pour fonction de répartition l'escalier du diable sur $[0,1]$).
    En fait la transformée de Fourier d'une telle mesure est donnée par
    $$F(x)=\prod_{k\geq1}\cos(\frac{2\pi x}{3^k})$$
    et en particulier pour tout $n\geq1$,
    $$F(3^n)=\prod_{k\geq1}\cos(\frac{2\pi}{3^k})<0$$

    J'ai trouvé ça dans le bouquin "Ensembles parfaits et séries trigonométriques" de JP Kahane et R Salem (page 15 chez Hermann). Ils utilisent d'ailleurs cet exemple dans le but de nier le fait que la TF d'une proba diffuse tend vers 0 en +/- l'infini.
    On en déduit aussi en fait qu'il existe des fonctions continues à variation bornée dont les coeff de Fourier ne sont pas en petit 0 de $\frac{1}{n}$. Ce qui règle aussi le problème que j'avais soulevé dans mon autre post (Estimation d'une intégrale).

    Voilà, voilà. Fin du débat donc!

    PS pour Alekk : ça te rappelle quelque chose ce bouquin ? T'as suivi le groupe de lecture de proba toi l'année dernière ?
  • alekk
    alekk
    hehe ! bien joué Vince .. j'avoue que j'étais persuadé que le résultat était vrai. Par la même occasion, la discussion montre que les mesures absolument continues ne sont pas denses (pour la variation totale comme norme) dans les mesures sans atomes... marrant :)
  • egoroff
    egoroff
    Hum hum, c'est un peu frustrant comme fin. On la trouve comment cette TF ? Elle visiblement différente de l'expression que j'avais trouvée mais alors où me suis-je trompé ? Et la convolution d'alekk pourquoi ne marche-t-elle pas ?

    Je sens que je vais être obligé d'aller voir le bouquin.
  • alekk
    alekk
    egoroff: jette un coup d'oeil à http://www.jstor.org/view/00029890/di991805/99p0344z/0 , on y parle de la transformée de Fourier de la mesure uniforme sur la Cantor, entre autre :)
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