"donc" et "si...alors"

L’implication du si… alors… est une proposition hypothétique, rien n’indique que dans A→B, A soit vraie, ou que B soit vraie.
La déduction du donc est autre chose, elle permet de déduire B en sachant A et A→B.

Le "si $A$ alors $B$" est l'énoncé d'une proposition mathématique reliant logiquement l'antécédent $A$ au conséquent $B$, en langage formel $A \Rightarrow B$.

Le "donc" est une étape d'un raisonnement qui enchaîne les propositions.
En principe, le "donc" est précédé de deux prémisses, et suivi d'une conclusion : $P$ or $Q$ donc $R$, le plus souvent sous forme du {\it modus ponens} :
$A \Rightarrow B$ or $A$, donc $B$.

La proposition $A \Rightarrow B$ est souvent limité à l'énoncé d'un théorème, voire est sous-entendu, ce qui peut être à l'origine d'incompréhension. Voici deux exemples :

Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ [prémisse $P$] donc, en vertu du théorème de Pythagore [prémisse $Q = (P \Rightarrow R)$] , $BC^2 = AB^2 + AC^2$ [conclusion $R$].

On a $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$ et $(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$ [prémisse $P = (P_1 \wedge P_2)$] donc $(a+b)^2 + (a-b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ [conclusion $R$]. On a sous-entendu la prémisse $Q = (P_1 \wedge P_2) \Rightarrow R$], c'est-à-dire la règle de calcul bien connue $[(x_1 = y_1) \wedge (x_2 = y_2)] \Rightarrow (x_1 + x_2 = y_1 + y_2)$.

Bonjour.

Méfiez vous : "Donc" est un mot du vocabulaire courant, qui a parfois un sens a-logique : "Il risque de pleuvoir, donc je prends mon parapluie".

Cordialement

"officiellement le statut de ces mots est le suivant:

le mot "donc" n'est utilisé que dans une démonstration (D)!
il est précédé d'une liste L de phrases et suivi d'une phrase C.

la "grosse" phrase obtenue en affirmant que la conjonction des phrases de L entraine C (c'est à dire "si P alors C", avec P conjonction des phrases de L) est une hypothèse TACITE utilisée par la démonstration D.

j'utilise le mot "tacite" dans le sens "pas écrite en tant que tel". Je te donne un exemple:

Voici une démonstration que {\it tu es la plus belle du monde}:

Début:
L'autre jour je suis allé voir les infiltrés. De plus, aucun nombre réel $x$ ne donne $(-1)$ quand on les multiplie par lui-même. Donc $\forall x,$si $x$ est un nombre réel alors $x^2\neq (-1)$. Ainsi je suis allé voir les infiltrés {\bf et} $\forall x, $si $x$ est un nombre réel alors $x^2\neq (-1)$ {\bf donc} tu es la plus belle du monde
Fin

Les hypothèses {\bf explicites} de cette "démonstration" sont:
1) je suis allé voir les infiltrés
2) aucun nombre réel $x$ ne donne $(-1)$ quand on les multiplie par lui-même

Les hypothèses {\bf tacites} de cette "démonstration" sont:
1) {\bf si} aucun nombre réel $x$ ne donne $(-1)$ quand on les multiplie par lui-même {\bf alors} $\forall x,$ si $x$ est un nombre réel alors $x^2\neq (-1)$
2) {\bf si} $\forall x,$ si $x$ est un nombre réel alors $x^2\neq (-1)$ {\bf et} je suis allé voir les infiltrés {\bf alors} tu es la plus belle du monde