Combinaison linéaire de Gaussiennes

georges0 · March 2005

Bonjour,
soudain j'ai un doute : est ce qu'un combinaison linéaire de lois gaussiennes est toujours une loi gaussienne ou bien il est nécessaire d'avoir l'hypothèse d'indépendance?

Merci de vos réponses qui j'en suis sur dissiperont mon doute.

Cordialement

brubrub0 · March 2005

Je crois même plus: il me semble me rappeler qu'une somme de deux gaussiennes est une gaussienne si et seulement si elles sont indépendantes... (cad "si X et Y sont des v.a. dont la loi est normale, alors la v.a. X+Y est normale si et seulement si X et Y sont indépendantes"). Mais c'est à vérifier! Il me semble me rappeler que ça se démontre en deux secondes avec les fonctions caractéristiques. Il faudrait que je révise tout ça!

Kuja · March 2005

Bonjour,

non,non pas besoin d'indépendance. Soit $X$ un vecteur gaussien de moyenne $\mu$ et matrice de variance-covariance $\Gamma$ ( dans le cas indépendant c'est une matrice diagonale, c'est la seule particularité). Alors $Y=AX$ est un vecteur gaussien de moyenne $A\mu$ et de matrice de variance-covariance $\Sigma=A \Gamma A^t$.

Amicalement,

brubrub0 · March 2005

Oui, d'accord! pour la somme de $X_1$ et $X_2$ v.a. normales, on considère le vecteur gaussien $X=\left(\begin{array}{c}X_1\\X_2\end{array}\right)$ et on prend $A=\left(\begin{array}{cc}1&1\end{array}\right)$, et ça marche.

Je confondais avec la covariance: pour des v.a. $X$ et $Y$ gaussiennes, elles sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle, c'est ça?

Kuja · March 2005

oui c'est ça. Pour des variables gaussiennes, l'indépendance est équivalente à la décorrélation.

Roman0 · March 2005

Euh, si mes souvenirs sont bon, c'est pas seulement les CL de gaussiennes qui sont gaussiennes mais aussi l'image par une fonction linéaire de toutes gaussiennes qui est une gaussienne (c'est pour cela que dans le cas d'une intégrale de itô où la fonction à integrer est une constante on se retrouve encore avec un champ gaussien).
(Il faut prendre les cas dégénérés dans la définition de gaussien pour que ca marche).

Cordialement,
--
Roman

Kuja · March 2005

-> Roman : qu'appelles-tu "fonction linéaire" ? Pour moi, en dimension 2 par exemple, f(x,y) est linéaire en x et y si f(ax,y)=af(x,y) et f(x,by)=bf(x,y) pour tout a,b,x,y.
Donc f(x,y)=xy est une fonction linéaire en x et y. Mais si X et Y sont des gaussiennes centrées réduites, XY n'est certainement pas une gaussienne (il me semble me souvenir que sa densité s'exprime avec des fonctions de Bessel).

ps : je t'ai envoyé un pdf par mail et donné une référence sur le message pour l'estimation de densité.

Amicalement,

Roman0 · March 2005

Euh, Kuja il te manque pas:
f(x+t,y+z) = f(x,y) + f(t,z) ????

Et auquel cas f(x,y) = xy n'est pas linéaire ?

Cordialement,
--
Roman, qui a peur de dire une bétise.

Roman0 · March 2005

lire:
f(x,y) = xy n'est pas linéaire

Roman

Kuja · March 2005

Quand je dis f(x,y) linéaire, j'entends f(x,y) bilinéaire, c'est à dire linéaire par rapport à chacune des variables. C'est bien le cas de f(x,y)=xy.

Roman0 · March 2005

Oui, c'est ce que je me suis dit après avoir tapé ma réponse, mais en fait moi je parlais bien de fonction linéaire en le vecteur formé par ses variables.

Mais bon, ce que je dis serait à vérifier (quoi que je sois quasi sûr de moi rapport à la preuve pour itô). On faisait ca tout le temps l'an dernier dès qu'on faisait des calculs avec des champs gaussiens.

Kuja · March 2005

Est-ce que tu pourrais expliciter l'expression "fonction linéaire en le vecteur formé par ses variables" ?
Personnellement je dirais (mais je peux me tromper) que le type de fonctions auquel tu fais allusion se ramène à considérer des combinaisons linéaires.

Roman0 · March 2005

Ben, en fait oui et non, j'ai toujours eu un problème de définitions contradictoires des Combinaisons Linéaires (à savoir: une CL est une somme finie ou non ?).

Ce que je voulais dire et effectivement, ca revient au même c'est que l'image d'une combinaison linéaire finie ou infinie (mais pour moi une somme infinie n'est pas une CL, j'ai tort ou pas ? (en fait j'ai eu deux profs qui m'ont donné deux définitions contradictoires à ce sujet) d'une gaussienne est gaussienne.

Le "seul" cas où la différence est importante de toutes façons (enfin en tout cas à ce que je sais, et le "important" est pour "qui s'applique") est le problème d'intégrales contre des mesures gaussiennes. Enfin, accessoirement aussi, dans certains problèmes de grandes déviations ...

Cordialement,
--
Roman, qui a peur de sortir des énormités, faire une thèse dans un labo de génie electrique, ce n'est pas bon pour la rigueur ...

Kuja · March 2005

Pour moi (je ne sais pas si c'est la définition standard) une CL est nécessairement finie. Ce qui m'ennuie un peu dans ce que tu dis, mais peut être que je vois mal les choses, c'est qu'une somme infinie de gaussiennes fait une gaussienne. Exemple : soit $X_i$ une va de loi normale centrée réduite pour tout $i \in \N$, où les $X_i$ sont indépendantes entre elles. Alors $\sum_{i=1}^n X_i \sim \mathcal{N}(0,n)$ ne tend pas vers une gaussienne quand $n$ tend vers l'infini.

e=mc3 · January 2007

Brubrub et Kuja

pour montrer que la somme de deux gaussiennes est une gaussienne, moi je passe par les fonctions caractéristiques, or il me semble que pour pouvoir écrire que la fonction caractéristique d'une somme est le produit des fonctions caractéristiques il faut que les v.a. soient indépendantes. Sauf peut être que dans la cas gaussien on peut s'affranchir de cela mais alors pourquoi Kuja écris tu dans tes hypothèses juste au dessus de mon intervention que les Xi sont indépendantes alors qu'en début de fil tu dit que ce n'est pas nécessaire pour des gaussiennes. Je ne suis pas

Kuja · January 2007

Salut e,

J'ai écrit que ce n'était pas nécessaire en effet, mais attention : j'ai précisé qu'il fallait un vecteur gaussien quand même (sinon c'est faux).

Amicalement,

e=mc3 · January 2007

oui mais brubrub utilise une matrice rectangulaire
(1 1)
sur le vecteur gaussien
(X)
(Y)
pour en conclure que X+Y est gaussienne d'après ton premier résultat.

Sedanais · January 2007

Bonsoir
Rappelons la DEFINITION : un vecteur (x1,...,xn) est dit gaussien si pour tout n-uple (a1,...,an) dans R^n, a1x1+...+anxn est une variable gaussienne réelle.

On a les propriétés:
1. La somme de deux gausiennes ind est gaussienne
2. (Lévy-Cramer) si U et V sont deux v.a.r ind et si U+V est gaussienne, alors U et V sont gaussiennes
3. si X, Y sont ind de même loi, centrées et de variance 1, et si X+Y et X-Y sont ind, alors X et Y sont gaussiennes N(0,1)

Combinaison linéaire de Gaussiennes

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