série de variables aléatoires

e=mc3 · January 2007

Bonjour

j'aurais pu mettre cette question à la suite du post sur le sujet d'analyse de l'agreg externe de 2006, mais je pense qu'elle mérite un fil à elle toute seule, car elle concerne une série de variables aléatoires.

J'ai lu dans un certain nombre d'ouvrages (Ouvrard, Zuily Queffelec...) quelques résultats concernant ces séries, mais à vrai dire je ne sais pas quels sont les résultats exigibles à l'agrégation. Donc en fait je ne sais pas quels sont les résultats que l'on peut utiliser le jour de l'écrit. J'ai l'impression qu'il n'y en a aucun et qu'il faut tout redémontrer.

Bref voici le sujet qui devrait donner lieu à différentes approches.

$(a_n)$ est une suite de variable aléatoires gaussiennes de moyenne nulle et de variance 1. On demande de montrer que la série $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{\sqrt{k!}}x^k$ a un rayon de convergence qui est presque surement $+\infty$

Pour commencer ne revient il pas au même de dire que la série converge presque surement tout court?

TheBridge0 · January 2007

Oui, je pense que c'est vrai.

Pourquoi ne pas utiliser l'inégalité de Bienaimé Tchebytcheff sur les sommes partielles à x fixé ??

e=mc3 · January 2007

Ok
je pose $S_n=\sum_{k=0}^{n}\frac {a_k}{\sqrt k!}x^k$

première question:
pourquoi les auteurs de l'énoncé ont ils écrit $x^k$ et pas $z^k$. Est ce que dans leur tête x doit être réel? (parce que c'est écrit nulle part dans l'énoncé et qu'en général quand on parle de série entière sans rien préciser c'est dans C non?)
je supposerai x réel.

deuxième question:
ou est l'erreur dans le raisonnement suivant:
$E(S_n)=0$ ( linéarité de l'espérance et $a_k$ centrées)
$E(S_n^2)=0$ (on développe le carré on utilise la linéarité de l'espérance, l'indépendance des $a_k$ et le fait que les ak sont centrées)

donc $P(|S_n|>\epsilon)\leq(E(S_n^2)-E(S_n)^2)/\epsilon^2=0$!!!

A moins qu'il n'y ait pas d'erreur et que cela signifie que la probabilité de dépasser un epsilon arbitrairement grand est nulle et donc que $S_n$ est presque surement bornée ce qui est la démo que l'on cherchait!

En fait ce qui me gène c'est que pour un epsilon arbitrairement petit c'est également rigoureusement nul et cela implique que la somme partielle est nulle presque surement. Il y a un os

e=mc3 · January 2007

Evidemment il y avait une erreur de calcul (fatigué!):

$E(S_n^2)=\sum_{k=0}^{n}E(a_k^2 \frac {x^{2k}}{k!})$
=$\sum_{k=0}^{n}\frac {(x^2)^k}{k!})$ (car $a_k$ réduite)
cette dernière somme est majorée par $exp x^2$ donc

$P(|S_n|>\epsilon)\leq exp x^2/\epsilon^2$

donc la probabilité que la somme partielle soit plus grande (en module) que epsilon tend vers zéro quand cet epsilon augmente

$P(|S_n|=\infty)=lim_{\epsilon}P(|S_n|>\epsilon)=0$

(il y a-t-il un pb pour justifier que (P(lim)=lim(P)?)

e=mc3 · January 2007

Il y a un problème ce n'est pas $S_n$ qu'il faut considérer mais $T_n=\sum_{k=0}^{n}|\frac {a_k}{\sqrt k!}x^k|=\sum_{k=0}^{n}\frac {a_k}{\sqrt k!}|x^k|$ (car $a_k$ positives)
on a
$E(T_n)=0$
$E(T_n^2)=0$
(pour les mêmes raisons que celles évoquées ci-dessus)
un raisonnement identique nous amène à

$P(T_n=\infty)=0$ et là on peut conclure

e=mc3 · January 2007

Donc la convergence presque sûre n'a rien à voir avec le fait que la loi des ak est gaussienne mais seulement avec le fait qu'elles sont centrées et réduites. Ca marcherait pour n'importe quelle autre loi ayant ces deux propriétés. Trouvez cela curieux, contre intuitif, marrant, normal etc...?

e=mc3 · January 2007

J'ai quelque peu l'impression de monologuer sur ce sujet mais bon ce n'est pas grave.

Dans l'énoncé on nous rappelle le th. de Borel Cantell. Est ce que c'est utile pour cette question ou plutôt pour l'étude du nombre de zéros?

On nous demande en effet de démontrer que la fonction somme admet un nombre fini de zéro sur tout intervalle [a,b] presque sûrement.

Y a-t-il un lien avec le th. des zéros isolés?

TheBridge0 · January 2007

Je viens de lire tes post

Primo ta remarque sur le fait qu'on n'a pas besoin que les v.a. soient gaussiennes est juste.

Pour le fait que l'on puisse utiliser le lemme de Borel Cantelli
Si on pose a(n,$\omega$) le n-ieme zero de f (i;e f($\omega$,a(n))=0)

Si tu calcules la proba de chaque a(n) et que tu montres que la serie de terme général Proba (a(n)) converge alors tu as gagné.

egoroff · January 2007

Je n'ai pas compris pourquoi les $a_k$ sont positives... Une v.a. positive d'espérance nulle est p.s. nulle ! Donc c'est absurde de dire que les $a_k$ sont positives, et pour la même raison c'était absurde d'écrire $\mathbb{E}(S_n^2)=0$, et pareil pour $T_n$, ça doit sauter aux yeux ce genre de choses.

Pour justifier que $\mathbb{P}(S_n=+\infty)=\lim_{M \to \infty } \mathbb{P}(S_n > M)$ pas de problème car l'événement $\{ S_n = +\infty \}$ est l'intersection des événements $\{S_n > M\}$ pour $M \in \N$ et donc la proba du premier est la limite décroissante des probas des seconds. Mais voudrais faire deux remarques :
- Il est {\bf évident} que $S_n$ est finie p.s. puisque c'est une somme finie ;
- Ce n'est parce que chaque $S_n$ est finie que la limite est finie !

Bref, c'est presque du grand délire...

Kuja · January 2007

Bonjour,
 
 Sans passer par Tchebitchev, on peut aussi utiliser le fait que ce sont des gaussiennes indépendantes, et donc
 <DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="154" HEIGHT="64" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106180/cv/img1.png" ALT="$\displaystyle S_n\sim \mathcal{N}\left(0,\sum_{k=1}^n \frac{x^{2k}}{k!}\right)$"></DIV>
 La série entière converge donc ssi la gaussienne limite <IMG WIDTH="14" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106180/cv/img2.png" ALT="$ S$"> est non dégénérée (car dans ce cas <IMG WIDTH="105" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106180/cv/img3.png" ALT="$ P(S=\infty)=0$">), c'est-à-dire ssi la variance <IMG WIDTH="56" HEIGHT="61" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106180/cv/img4.png" ALT="$ \displaystyle{\sum_{k=1}^n \frac{x^{2k}}{k!}}$"> converge, ce qui est le cas pour tout <IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106180/cv/img5.png" ALT="$ x$">.
 Cependant, Tchebitchev explique pourquoi le résultat est vrai pour toute loi : la queue de distribution est contrôlée par la variance. Il suffit qu'elle converge pour que la proba d'aller à l'infini soit nulle.
 
 Enfin, on peut faire le même raisonnement sans Tchebitchev pour l'autre série.
 
 Amicalement,

e=mc3 · January 2007

Egoroff
tu as effectivement raison les ak ne sont pas positives. Je ne sais pas ce qui m'a pris. Enfin si:j'ai fait un court circuit dans mon cerveau: je me suis dit densité positive donc v.a. positive. N'importe quoi!!!

Du coup je ne vois plus comment faire avec Tchebichev (bycheff, bicheff, bitchev, bytchev...j'ai jamais su écrire ce nom!)

Est ce qu'il faut calculer des trucs du genre $E(|a_k|)$ et donc faire appel de manière explicite à la loi mise en oeuvre (gaussienne)?

e=mc3 · January 2007

Bon je calcule quand même $E(|a_k|)$ ce qui du coup nécessite de faire appel explicitement à l'expression de la loi:
$E(|a_k|)=2/\sqrt{2\pi}\int_{0}^{+\infty}xexp(-x^2/2)dx=2/\sqrt{2\pi}$
donc

$E(T_n)=2/\sqrt{2\pi}\sum_{k=0}^{n}|x|^k/\sqrt{k!}$

et là franchement je préfère Markov (pas de pb Tn est positive) à Tchebichev pour la majoration! (avec Tchebichev je ne vois pas trop et en plus qu'est ce que Tchebichev apporte à part de la complication)

$P(T_n>\epsilon)\leq \frac{2}{\epsilon\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^{n}|x|^k/\sqrt{k!}$\

le majorant n'est pas directement la somme partielle d'une série entière. Je distingue donc deux cas (savez vous traiter ces deux cas d'un seul coup?)

x>0
$\sum_{k=0}^{n}|x|^k/\sqrt{k!}=\sum_{k=0}^{n}x^k/\sqrt{k!}$ et le critère de d'Alembert appliqué à la série de droite qui a un rayon de convergence infini, permet de conclure que pour tout x positif nous avons un majorant (fini)

x

e=mc3 · January 2007

en fait il n'y a pas besoin de distinguer les deux cas x>0 et x<0 (une série entière est absolument convergente à l'intérieur de son disque de convergence donc les séries avec et sans la valeur absolue sur le x ont le même rayon de convergence!!!!!)

sinon

TheBridge
je n'ai rien compris à ton argument concernant les zéros.
En ce qui me concerne pour toute réalisation des ak la somme est presque pour tout x analytique donc a ses zéros isolés et ils sont donc en nombre fini sur un intervalle compact.

TheBridge0 · January 2007

Pardon e=mc3 mettons que je n'ai rien dit pour borel cantelli (mes notions sur les fonctions analytiques remontent à loin)

Sinon je ne vois pas où est le pb pour et pourquoi tu distingues deux cas x>0 et x\epsilon)\leq \frac{2}{\epsilon\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^{n}|x|^k/\sqrt{k!}\leq \frac{2}{\epsilon\sqrt{2\pi}}\sum_{k=0}^{+\infty}|x|^k/\sqrt{k!}$

non, et cette serie est abs convergente donc qd tu fais tendre $\epsilon$ vers $+\infty$ ta proba tend vers 0 pour tout n et donc par passage à la limite ta série est ps cv ?

e=mc3 · January 2007

merci d'enfoncer le clou TheBridge. Je dirais même plus la série est absolument convergente!

Sinon l'énoncé d'analyse de l'agreg ext. 2006 nous rappelle le th. de Borel Cantelli pour traiter au choix l'une des questions suivantes (en notant f la somme de la série)

a)le rayon de convergence est presque surement l'infini
b)presque surement l'ensemble des zéros sur [a,b] noté $Z_{[a,b]}(f)$ de la somme est finie
c)f et f' n'ont pas de zéro commun
d)$Z_{[a,b]}(S_n)$-->$Z_{[a,b]}(f)$
e)$E(Z_{[a,b]}(S_n)$->$E(Z_{[a,b]}(f))$

alors à quoi peut bien servir Borel Cantelli?

Sinon je me demande toujours si dans ma démo il existe une majoration ne faisant pas intervenir de manière explicite la loi gaussienne mais uniquement sa variance et sa moyenne (1 et0)

Alp · January 2007

En TD on a étudié des séries de variables aléatoires (bien particulières) et pour faire apparaitre un résultat sur les rayons de convergence il fallait se servir du 0-1 de Kolmogorov... (y a du Borel Cantelli dessous...)

e=mc3 · January 2007

Je ne vois toujours pas comment appliquer Borel Cantelli

Sedanais · January 2007

Bonsoir.

Pour la 1ère question (le fait que le rayon de cv est ps + l'infini), le plus simple me semble de dire :
pour tout x, E(Sn²)=somme de 1 à n des x^2k/k!, qui converge.
Donc (Sn) est de Cauchy dans L², donc elle converge dans L² ; et donc en loi ; et puisque les variables sont indépedantes elle converge p.s.
En fait Kuja a déjà tout dit. Mais le fait que les variables soient gaussiennes n'est pas important. Tout ce qui compte c'est qu'elles soient indépendantes centrées et que la somme des variances converge.

Mais en fait il y a encore + simple :
Si l'on note Tn comme vous l'avez fait, on a E(Tn) finie, donc Tn est p.s finie; et donc p.s (Sn) est absolument convergente, et donc elle cv p.s.
On en déduit (de l'absolue convergence) que la limite f est p.s. analytique.
Mais alors f vaut 0 ou elle a un nombre fini de zéros sur [a,b]. Mais si elle vaut 0 alors tous les ak sont nuls. Mais la somme des p(ak=0) vaut 0, donc par Borel Cantelli il y a p.s. un nombre fini de ak nuls.

Peut-être je me suis un peu mélangé les carynos, mais ça doit être les idées...

e=mc3 · January 2007

Ok Sédanais
j'avais oublié de parler du cas f nul. Mais je ne comprends pas la fin de ton raisonnement avec Borel Cantelli et notamment le fait qu'il y a un nombre fini de ak nuls alors qu'on s'intéresse au zéros (je ne vois le lien entre avoir un nombre fini de ak nuls et un nombre fini de zéros pour la somme de la série)

Sedanais · January 2007

S'il n'y a pas un nombre fini de zéros dans [a,b], alors il y en a un nombre infini, donc on peut en extraire une sous-suite convergente, et donc l'ensemble des zéros a un point d'accumulation. Par le th des zéros isolés, f est la fonction nulle et tous les ak valent 0. Cet événement est de probabilité nulle. Borel Cantelli n'est pas (du tout) indispensable.

Je n'ai malheureusement pas le sujet de ce concours d'agreg. Les choses doivent être plus claires avec les questions posées dans l'ordre.

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