Tr A^p -> 0, A diagonalisable

Tom-0
Tom-0
dans Algèbre
Bonsoir,

Je bloque sur l'exo. suivant :

A est une matrice diagonalisable de Mn(C).
Je dois montrer que Tr A^p -> 0 quand p->+inf implique A^p ->0.

Voilà ce que j'ai fait :
A est diagonalisable de vp lambda_1, ... ,lambda_i.
L'hypothèse équivaut à somme des lambda_k ^ p -> 0 et je dois montrer que cela implique lambda_k^p ->0 pour tout k ie. le rayon spectral de A est <1.

Si on considère une vp lambda de A de module maximal, on peut factoriser la somme des lambda_k^p par lambda et on obtient une somme du type :
Tr A = lambda^p*(1 + exp(ip*a1) + ... + exp(ip*aq) + o(1)) (où o(1) tend vers 0 quand p tend vers +inf).
Si le module de lambda est >= 1 le terme de droite doit tendre vers 0 quand p -> +inf.
Mon but serait de montrer que cela n'est pas possible et je pourrais conclure, seulement je n'y arrive pas :X

Quelqu'un peut me débloquer SVP ?

Réponses

  • Guego
    Guego
    Comme tu le dis : il suffit de montrer que $1+e^{ipa_1}+...+e^{ipa_q}$ ne converge pas vers 0.

    Pour tout $k$, soit $a_k \in 2\pi \Q$ et dans ce cas, $e^{ipa_k}$ est périodique et admet donc 1 comme valeur d'adhérence, soit $a_k \not\in 2\pi \Q$ et dans ce cas, $e^{ipa_k}$ est dense dans le cercle unité.

    A partir de ça, je te laisse montrer que, de la suite $1+e^{ipa_1}+...+e^{ipa_q}$, on peut extraire une sous-suite dont chaque terme converge vers 1. Ainsi, notre suiste extraite converge vers $q+1$, ce qui empêche notre suite de départ de converger vers 0.
  • gb0
    gb0
    Sans aller chercher le rayon spectral, tu as diagonalise $A = PDP^{-1}$ avec $D =diag(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ et $P$ inversible.
    De là $A^p = PD^pP^{-1}$ donc $tr(A^p) = \sum\limits_{k=1}^n \lambda_k^p$ et $A^p$ de limite nulle si, et seulement si $D^p$ de limite nulle, c'est-à-dire, pour tout $k$, $\lambda_k^p$ de limite nulle ou $\lambda <1$.

    Tu as le développement en série entière : $\dfrac{1}{1-\lambda_k z} = \sum\limits_{p=0}^{+\infty} \lambda_k^p z^p$ avec le rayon de convergence $\dfrac{1}{|\lambda_k|}$ ou $+\infty$ si $\lambda_k = 0$.

    Par addition $\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{1-\lambda_k z} = \sum\limits_{p=0}^{+\infty} tr(A^p) z^p$. Si $tr(A^p)$ est de limite nulle, le rayon de convergence est supérieur à 1, comme la somme n'est pas définie en $\dfrac{1}{\lambda_k}$, tu en déduis aue $\dfrac{1}{|\lambda_k|} \geq 1$, soit $|\lambda_k| \leq 1$.

    Rest à montrer que l'inégalité est stricte.
  • Tom-0
    Tom-0
    J'ai un petit problème pour extraire une telle suite.

    Si je considère pour chaque ak tel que ak/2Pi soit rationnel le dénominateur de cette fraction irréductible puis que je prends le produit A de ces dénominateurs, les exp(ipAak) valent toujours 1 indépendamment de p et de k.

    Ensuite lorsque l'on considère k tel que ak/2Pi est irrationnel on peut extraire de la suite exp(ipAak) une suite qui converge vers 1, mais il faudrait ensuite réextraire une nouvelle suite pour chaque ak que l'on considère mais là je ne peux plus affirmer simplement qu'une telle suite existe non ? (puisque je dois l'extraire de la suite exp(ipAak) où les p ne décrivent plus N mais seulement les termes de la suite extraite :/)
  • gb0
    gb0
    J'appelle $\lambda_1,...,\lambda_q$ les valeurs propres DISTINCTES de $A$, avec les ordres de multiplicité $n_1,...,n_q$.
    Je pose $a_{k,r} = n_k\lambda_k^r$. Pour tout couple $(p,r)$ d'entiers, on a
    $$E_r \ : \ \sum\limits_{k=1}^q a_{k,r}\lambda_k^p = tr(A^{p+r})$$
    Si $A$ admet la seule valeur propre 0, alors $A = 0$ et c'est fini.
    Sinon, les équations $E_r$, pour $0 \leq r \leq q-1$ si les valeurs propres sont toutes nulles, pour pour $0 \leq r \leq q-2$ si l'une des valeurs propres est nulle, forment un système de Cramer (déterminant quasi de van der Monde), qui permet de calculer les $\lambda_k^p$ en fonction des $a_{k,r}$ et des $tr(A^{p+r}$, et par suite, si $tr(A^p)$ est de limite 0, il en est de de même des $\lambda_k^p$.

    OUF !!!
  • Guego
    Guego
    Effectivement, ma méthode ne marche pas aussi bien que quand je l'ai tapée. J'ai alors réfléchi à un autre moyen de le montrer, mais je ne vais pas le taper, puisque c'est la même chose que le dernier message de gb :)
  • gb0
    gb0
    Et encore, je me suis "fait" dessus. Il n'y a pas besoin de savoir si l'une des valeurs propres est nulle (sauf le cas où elles le sont toutes) : les coefficients $a_{k,0}$ sont non nuls, puisqu'ils valent 1.
    Le système des $q$ premières équations est de Cramer et fournit les $q$ valeurs des $\lambda_k^p$.
  • oumpapah2
    oumpapah2
    Bonjour,

    cet exo me rappelle un exo celebre en son temps:

    " soit (a(n) une suite complexe telle que la serie de terme general |a(n)|
    soit convergente et que ,pour tout entier p>=1 ,la serie de terma général a(n)^p
    soit convergente et de somme nulle;alors la suite (a(n)) est la suite nulle."

    et ,malgre de nombreux messages il y a qq mois de cela, je n'ai pas de preuve convaincante de l'existence d'une suite (a(n)) non nulle verifiant les hypotheses precedentes en enlevant la condition d'absolue convergence de la serie de terme général a(n).:S
    avis aux amateurs .

    Oump.
  • Tom-0
    Tom-0
    Vu comme tu présentes ça, je pense qu'il est inutile que je cherche, autant chercher à démontrer l'hypothèse de Riemann :D
  • Tom-0
    Tom-0
    Sinon gb ta solution ne serait-elle pas inspirée de l'exo Tr A^k = 0 pour tout k <=> A nilpotente ;) ?

    En tout cas merci à vous tous :)
  • gb0
    gb0
    Variations sur un thème connu, c'est toujours les mêmes idées que l'on use jusqu'à la corde...
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