Une estimation du déterminant

Bonjour,
On se donne une matrice $A$ $n\times n$ réelle de colonnes $X_1,...,X_n\in\R^n$.
J'ai d'abord montrer que $$det(A)\leq \|X_1\|...\|X_n\|$$ ou \|\cdot\|$ est la norme euclidienne (il suffit de revenir a la définition avec les permutations du déterminant et d'utiliser Cauchy Scwhartz)

Maintenant mon problème est de montrer que si aucun des $X_j$ n'est nul, on a égalité si et seulement si $(X_1,...,X_n)$ est une base orthogonale de $\R^n$.

merci

Réponses

  • Bonjour,
    On se donne une matrice $A$ $n\times n$ réelle de colonnes $X_1,...,X_n\in\R^n$.
    J'ai d'abord montrer que $$det(A)\leq \|X_1\|...\|X_n\|$$ ou $\|\cdot\|$ est la norme euclidienne (il suffit de revenir a la définition avec les permutations du déterminant et d'utiliser Cauchy Scwhartz)

    Maintenant mon problème est de montrer que si aucun des $X_j$ n'est nul, on a égalité si et seulement si $(X_1,...,X_n)$ est une base orthogonale de $\R^n$.

    merci

    désolé j'ai oublié un dollar dans le précédent message
  • Bonjour,
    On se donne une matrice $A, \ n\times n$ réelle de colonnes $X_1,\ldots ,X_n\in\R^n$.
    J'ai d'abord montré que $$\det(A)\leq ||X_1||...||X_n||$$ où $\|\cdot\|$ est la norme euclidienne (il suffit de revenir à la définition avec les permutations du déterminant et d'utiliser Cauchy Scwhartz)
    Maintenant mon problème est de montrer que si aucun des $X_j$ n'est nul, on a égalité si et seulement si $(X_1,\ldots,X_n)$ est une base orthogonale de $\R^n$.

    Merci
  • peut etre par récurrence:
    $det(A)=det(UA)$ où $U$ est n'importe quel matrice orthogonale (ou encore n'importe quelle matrice de déterminant $1$, mais ici il est question d'orthogonalité, donc ..). Donc, quitte à multiplier par une matrice bien choisie, on peut supposer que la première colonne de $A$ est $e_1=(\|X_1\|,0,0,ldots,0)$. On développe suivant la première colonne, et on fait une récurrence. Cela montre l'inégalité
    $det(A) \leq \|X_1\| \ldots \|X_n\|$
    et pour qu'il y ait égalité, on voit qu'il faut que les vecteurs $X_i$ soient orthogonaux.
  • Merci maintenant c'est bon
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