Exponentielle complexe (interne)

Bonjour,
voilà j'ai réflechi à la leçon 212, exponentielle complexe, fonctions trigo et nombre $\pi$.
Le plan en général commence par la définition de l'exponentielle complexe par les séries entières, puis fonctions trigonométriques voire hyperbolique, toutes les formules, propriétés. Et définition du nombre $\pi$ soit comme l'inf des réels positifs tel que $e^ix+1=0$, soit comme $\frac{ker \phi}{2}$ avec $\phi$ le morphisme que vous savez ou il existe encore d'autres formulations. Le problème c'est de revenir au vrai $\pi$ (rapport de la circonférence du cercle à son diamètre). Ce qui est sans doute possible, si quelqu'un pouvait me dire comment on fait (intégrales curvilignes ?)

Pour ne pas avoir ce problème j'ai pris le sujet à l'envers :
c'est à dire, je commence par définir radian, cercle trigo, puis cos, sin, puis je les développent en série entière pour les étendre au cas complexe.
Je définis alors l'exponentielle par $exp(z)=cos iz-isin(iz)$ et je retrouve le nombre $\pi$ mais il s'agit du même $\pi$ car on sait alors que son cosinus vaut -1.
Je joint le fichier pdf, si quelqu'un pouvait me relire pour voir où il y a une incohérence ou maladresse ou je ne sais quoi.
Merci.