polynômes

brice · January 2007

bonjour,
voilà j'ai trouvé cet exercice, je l'ai résolu mais je ne vois pas où se trouve la difficulté. Pouvez vous me dire si ce que j'ai fait est juste, et sinon ce qui ne va pas dans mon raisonnement ?
voici l'énoncé:
Soit $P$ le polynôme de $K[X]$ défini par $P(X)=(X-x_1)(X-x_2)...(X-x_n)$
où $x_1,x_2,...,x_n$ sont des scalaires deux à deux distincts.
Montrer que $\sum_{k=1}^{n} \frac{P^n(x_k)}{P'(x_k)} = 0$

voila ce que j'ai fais:
$\forall k \in [1;n],\ P'(x_k) \neq 0$ car chaque $x_k$ est racine simple de
$P$

$P^n(X)=(X-x_1)^n (X-x_2)^n ... ( X-x_n)^n$
cahque $x_k$ est racinde d'ordre $n$ de $P$ donc $\forall k \in [1;n],\ P^n(x_k)=0$

d'ou le resultat.
Qu'est ce que je fais mal ?

Alexandre Vandeville0 · January 2007

Je suis peut-être à la masse mais d'abord tu annonces que chaque x_k est racine simple de P puis que chaque x_k est racine d'ordre n de P..

rainboo · January 2007

Hummm, ca ne serait pas plutôt la dérivée n-eme de P qu'il faudrait considérer ?

brice · January 2007

en fait je voulais dire racine d'ordre n de $P^n$

brice · January 2007

et je me demandais justement si ce n'etait pas la derivée nième. pourtant c'est bien écrit: $P^n$ et non $P^{(n)}$

...

tant pis
merci.

skilveg · January 2007

En plus $P^{(n)}$ est constant ce qui réduit encore l'intérêt...

Amicalement

bisam · January 2007

Moi, je pense qu'il est écrit P" (dérivée seconde de P).

brice · January 2007

Oui tout à fait. il s'agit bien de $P''$ ce qui complique évidemment l'exercie et le rend enfin intéressant. Aller je m'y atèle ! merci !

skilveg · January 2007

Je m'y suis moi aussi singe-araigné (désolé) et je crois avoir une solution dans le cas où $K=\R$. D'après le théorème de Rolle, $P'$ est scindé racines simples et ses racines sont distinctes de celles de $P$, disons $\displaystyle P'=\prod_{l=1}^{n-1}(X-y_l)$. On a alors les décompositions en éléments simples $\displaystyle\frac{P'}{P}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{X-x_k}$ et $\displaystyle\frac{P''}{P'}=\sum_{l=1}^{n-1}\frac{1}{X-y_l}$.

On en déduit
\[\begin{array}[centered]{rcl}
\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{P''(x_k)}{P'(x_k)} & = & \displaystyle\sum_{k,l}\frac{1}{x_k-y_l} \\
& = & -\displaystyle\sum_{l,k}\frac{1}{y_l-x_k} \\
& = & -\displaystyle\sum_{l=1}^{n-1}\frac{P'(y_l)}{P(y_l)} \\
& = & 0\textnormal{,}
\end{array}\]
les $y_l$ étant racines de $P'$.

Amicalement

brice · January 2007

Bonjour skilveg, je ne comprends pas d'où tu sors tes décompositions.. peux tu m'expliquer stp?

Mic0 · January 2007

Moi non plus, je ne comprends pas les décompositions.

brice · January 2007

alors en fait la première je suis d'accord: en effet: étant donné que $P'(x)=\sum_{i=1}^{n} \prod_{l=1,l \neq i}^{n}(X-x_l)$

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{X-x_i}
=\frac{\sum_{i=1}^{n} \prod_{l=1,l \neq i}^{n}(X-x_l)}{\prod_{i=1}^{n}(X-x_i)}$ (en mettant sous meme denominateur)
$=\frac{P'(X)}{P(X)}$

Mic0 · January 2007

Pour la 2ème c'est exactement pareil en considérant que P' est le produit des X-yi.

brice · January 2007

vi c bon merci j'ai bien vu et la méthode utilisée par skilveg est très bien. Merci donc ! bonne soirée.

skilveg · January 2007

On peut aussi voir ça à la physicienne comme une dérivée logarithmique; ou sinon, utiliser le fait que, si <IMG WIDTH="16" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/6/106375/cv/img1.png" ALT="$ Q$"> est scindé racines simples (disons <IMG WIDTH="115" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/6/106375/cv/img2.png" ALT="$ Q=\prod(X-\lambda_k)$">) et si <IMG WIDTH="103" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/6/106375/cv/img3.png" ALT="$ \deg P<\deg Q$">, alors la décomposition en éléments simples de <IMG WIDTH="17" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/6/106375/cv/img4.png" ALT="$ \frac{P}{Q}$"> est <IMG WIDTH="62" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/6/106375/cv/img5.png" ALT="$ \sum\frac{\alpha_k}{X-\lambda_k}$"> avec <IMG WIDTH="85" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/6/106375/cv/img6.png" ALT="$ \alpha_k=\frac{P(\lambda_k)}{Q'(\lambda_k)}$">. On le voit en multipliant par <IMG WIDTH="54" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/6/106375/cv/img7.png" ALT="$ X-\lambda_k$"> et en évaluant en <IMG WIDTH="20" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/6/106375/cv/img8.png" ALT="$ \lambda_k$">; d'après la formule de Taylor, <IMG WIDTH="205" HEIGHT="38" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/6/106375/cv/img9.png" ALT="$ \frac{Q}{X-\lambda_k}=Q'(\lambda_k)+(X-\lambda_k)R$">.
 
 Si quelqu'un a une démonstration dans le cas où <IMG WIDTH="15" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/6/106375/cv/img10.png" ALT="$ \mathbb{K}$"> est quelconque, je suis preneur: en effet, ça semble marcher "formellement" sans supposition sur le corps.
 
 Amicalement

AlainLyon · January 2007

Petite question sur l'identité à montrer : dans les rapports figurant dans la somme devant être nulle, s'agit il de puissances n-ièmes de $P(x_k)$ ou de dérivées n-ièmes de $P$ EN $x_k$?

brice · January 2007

après réflexion il s'agit du rapport de la dérivée seconde et de la dérivée d'ordre 1 de $P$ évaluées en $x_k$... $\dfrac{P''(x_k)}{P'(x_k)}$

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