Exercice sur les Fonctions (type Prepa)!

natalie0 · January 2007

Bonsoir , vu l'heure , je suis venue sur ce forum , en esperant que quelqu'un puisse m'aider , pour un probleme , a prioris "simple" pour vous et cela pour vous faire un entrainement ( le professeur a dit que c'etait du "type" prepas , et qu'il noterait sur 30 ) !
Je mets une partie du DM , car il faut deja que j'arrive a faire ca avant de faire le reste !

1. Soit la fonction definie sur ]0; +oo [ par f(t) = $\ t^{(1/t)} $
a) Trouver les limites de f au bornes de Df , et dresser le tableau de variations de f .

b) Demontrer que f''(t) = $\frac{f(t)g(lnt)}{t^4}$ où g est la fonction definie sur IR par g(x) = (1-x)² + (2x - 3) $\ e^{x} $ .

c) Calculer g'(x ) , g''(x) , et g'''(x) ; demontrer que g'(x) s'annule une seule fois surIR et donner une approximtion a O,1 pres du reel qui annule g' .

d) En deduire que f''(t) s'annule deux fois sur ]0; +oo [ . Calculer des valeurs approchées a 0,01 pres des coordonnées des points correspondants de la courbe de f et construire cette courbe .

Donc :
a) Cela fais une indetermination de la forme 0^(+oo) , je cherche depuis toute a l'heure et je ne trouve pas

comme lever l'intermination .

Limite en +oo : de la forme : +oo ^( 0) , je ne sais pas comment lever cette indetermination .

Apres pour la derivée :
f'(t) = (1/t) t^((1-t)/t) ; ensemble de definition : R* . f'(f) s'annule en 1 .
Donc , de ] -oo ; 0 [ , est un "-" sur le tableau , ce qui signifie que f decroit sur " ] -oo ; 0 [ " et sur ] 0 ; + oo [ , est un "+" dans le tableau , cela signifie que f est croissante sur ]0, +oo [ . Mais comme , on etudie que sur
]0; +oo [ , alors f est strictement croissante sur Df , et pour completer ce tableau il faudrais que je connaisse les limites des bornes , que je n'ai pas trouver a la question precedente .

b) f''(t) = - ( t(1-t) / t² ) + (1/t)[ ((1-t)/t) (t^((1-2t)/t) ]
Bon je continuerai apres , avoir mis au point ce debut .

Voila , Si vous pouvez m'aider a faire cette exercice ,que je puisse comprendre !

jacquot · January 2007

Bonjour, Nat.

Pour ton indétermination, comme pour le calcul de ta dérivée, il faudrait que tu utilises la remarque suivante:

si a et b sont deux réels et a>o, : $a^{b}$ peut s'écrire $e^{b.ln(a)}$

(on a dû te donner cette définition un jour).

ainsi, $f(t)$ peut s'écrire $e^{\frac {ln(t)}{t}$.
Cette écriture permet de lever aisément l'indétermination sur les limites à droite de zéro et en $+\infty $ (revoir leçon sur le logarithme népérien)

Pour le calcul de la dérivée, il me semble que l'expression que tu proposes est fausse: tu appliques la formule qu'on t'a donnée por la dérivée de [$x^{n}$], mais {\bf elle n'est valide que si n est constant}.
Je pense qu'il vaut mieux utiliser l'écriture de f(t) proposée ci-dessus...

à toi de continuer...

Message pour le modérateur: vous serait-il possible de corriger mon Latex? quand j'utilise la fenêtre "tester votre Latex", j'obtiens en réponse de la pub pour des médicaments.... c'est désespérant! les Spam s'immiscent partout..

Merci
jacquot

jacquot · January 2007

Bonjour, Nat.

Pour ton indétermination, comme pour le calcul de ta dérivée, il faudrait que tu utilises la remarque suivante:

si a et b sont deux réels et a>o, : $a^{b}$ peut s'écrire $e^{b.ln(a)}$

(on a dû te donner cette définition un jour).

ainsi, $f(t)$ peut s'écrire $e^{\frac {ln(t)}{t}}$.
Cette écriture permet de lever aisément l'indétermination sur les limites à droite de zéro et en $+\infty $ (revoir leçon sur le logarithme népérien)

Pour le calcul de la dérivée, il me semble que l'expression que tu proposes est fausse: tu appliques la formule qu'on t'a donnée pour la dérivée de [$x^{n}$], mais {\bf elle n'est valide que si n est constant}.
Je pense qu'il vaut mieux utiliser l'écriture de f(t) proposée ci-dessus...

à toi de continuer...

Nathaliie · January 2007

Merci , donc : f(t) = $e^{\frac {ln(t)}{t}}$
Alors :
- lim en +oo :
* lim en +oo $\frac {ln(t)}{t}$ =0 , d'apres le cours,
Alors , lim en +oo $e^{\frac {ln(t)}{t}}$ = 1

- lim en 0 (x>0) :
* $\frac {ln(t)}{t}$ = - ( $\frac {1}{t}$ * ln $\frac {1}{t}$ )
-> lim en 0 (x>0) : $\frac {1}{t}$ * ln $\frac {1}{t}$ = + oo
-> donc lim en 0 (x>0) - ( $\frac {1}{t}$ * ln $\frac {1}{t}$ ) = - oo
-> lim en 0 (x>0) : $e^{\frac {ln(t)}{t}}$ = 0
Alors , lim en 0 (x>0) est 0 .

Apres , pour la derivée de f(t) :
f'(t) = ( $\frac {ln(t)}{t}$ )' * $e^{\frac {ln(t)}{t}}$
f'(t) = ( $\frac {1 - ln(t)}{t^2}$ )* $e^{\frac {ln(t)}{t}}$

Donc , f'(t) est definie sur R*+ , et s'annule en t= e .
Alors :
- sur ]0;e[ , dans le tableau c'est un '+' -> f est croissante sur ]0;e[
- sur ]e;+oo[ , dans le tableau c'est un '-' -> f est decroissante sur ]e;+oo[

Ai-je juste ?

Merci bien ! avant de faire la suite !

Aleg · January 2007

pour l'instant, c'est juste.

Nathaliie · January 2007

Merci !
J'ai reussie a demontrer la b .
"Demontrer que f''(t) = $\frac{f(t)g(lnt)}{t^4}$ où g est la fonction definie sur IR par g(x) = (1-x)² + (2x - 3) $\ e^{x} $ "
Trop long a tout marquer en latex ! je ne suis pas experte au tapage de clavier !

Le resultat est :
f''(t) = $\frac{f(t)g(lnt)}{t^4}$ = $e^\frac{ln(t)}{t}$ * ( $\frac{1+t(2lnt-3)}{t^4}$

Alors , pour la c) :
g(x) = (1-x)² + (2x - 3) $\ e^{x} $
g'(x) = (2x-1) ( 1 + $\e^x$ )
g"(x) = $\e^x$ *( 2x + 1 ) +2
g'''(x) = $\e^x$ *( 2x +3)

- "démontrer que g'(x) s'annule une seule fois sur IR donner une approximtion à 0,1 près du réel qui annule g' ."

Donc , je pose : g'(x) = 0 et je cherche les solutions de cette equation , qui nous montrerons qu'il n'y a qu'une solution , donc qu'une valeur qui annule g'(x) sur IR .

donc :
(2x-1) ( 1 + $\e^x$ ) = 0
2x + 2x $\e^x$ -1 - $\e^x$ = 0
$\e^x$ (2x-1) = 1 - 2x
$\e^x$ = - $\frac{2x-1)}{2x -1}$
$\e^x$ = -1
FAUX!! fonction Exp toujours >0
Ou est mon erreur svp ?

Merci beaucoup a vous tous !

Nathaliie · January 2007

les 'x' en l'aire sont des 'e' ! petit probleme en tapant certainement .
 merci

Alain Debreil · January 2007

Merci !
J'ai réussi à démontrer la b .
Démontrer que $\displaystyle f''(t) = \frac{f(t)g(\ln t)}{t^4}$ où $g$ est la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = (1-x)² + (2x - 3) e^{x} $
==> Le résultat est : $\displaystyle f''(t) = \frac{f(t)g(\ln t)}{t^4} = exp({\frac{\ln t}{t}}) \frac{1+t(2\ln t-3)}{t^4}$
Alors , pour la c) :
$g(x) = (1-x)² + (2x - 3) e^{x} $
$g'(x) = (2x-1) ( 1 + e^x )$
$g"(x) = e^x ( 2x + 1 ) +2 $
$g'''(x) = e^x( 2x +3)$

Démontrer que $g'(x)$ s'annule une seule fois sur $\R$ donner une approximtion à 0,1 près du réel qui annule $g'$.
==> Donc , je pose : $g'(x) = 0$ et je cherche les solutions de cette équation, et nous montrerons qu'il n'y a qu'une solution, donc qu'une valeur qui annule $g'(x)$ sur $\R$. Donc :
$(2x-1) ( 1 + e^x ) = 0$
$2x + 2x e^x -1 - e^x = 0$
$e^x (2x-1) = 1 - 2x$
$e^x = - \dfrac{2x-1}{2x -1}$
$e^x = -1$
FAUX !! fonction Exp toujours >0
Où est mon erreur svp ?

Merci beaucoup à vous tous !

jacquot · January 2007

Bonsoir, Nat.

Tu as bien exploité le coup de pouce de ce matin.
Il me semble que ta dérivée g' soit incorrecte, et donc les suivantes aussi:
On a g(x) = (1-x)² + (2x-3) exp(x)
alors g'(x) = -2(1-x) + 2exp(x) +(2x-3)exp(x) = 2x-2 +(2x-1)exp(x)
(j'ai appliqué les formules de dérivation [u²]'= 2u' u pour le 1er terme
et [uv]' = u'v+uv' pour le 2ème terme de g(x)
dommage , car on ne peut pas factoriser comme tu le proposais..

Calcule donc les dérivées g" et g''' ensuite, il faudra vraisemblablement appliquer le th des valeurs intermédiaires...

Bon courage!

NB la notation exp(x) m'évite le recours au Latex.

Nathaliie · January 2007

a effectivement ! merci beaucoup ! je vais re-calculer les derivées !

Nathaliie · January 2007

alors :
$ g'(x) = 2x - 2 +( 2x -1) e^x $
$ g''(x) = e^x + 2x e^x +2 $
$ g'''(x) = 2x e^x + 3 e^x $

Apres :
$ g'(x) = 2x - 2 +( 2x -1) e^x = 2x - 2 + 2x e^x - e^x$
g' est une fonction continue sur R (car derivable )
g' est strictement croissante sur R car g'' est stricetment possitive .
lim -oo g' = -oo ( car xexp(x) et exp(x) =0 d'apres le cours )
lim +oo g' = ?
Donc , d'apres le theoreme de la bijection , comme g' est continue et strictement croissante sur R , et 0 est compris entre ]-oo ; ? ] , alors il existe un unique reel x dans R tel que g'(x) = 0 .
Voila , j'ai prouver qu'il y avais une unique solution .
Pour trouver la valeur , il faut prendre la calculatrice :
On voit que c'est entre 0 et 1 , on verifie avec le calcule :
g'(0) = -3 et g'(1) = 2 - 2 + 2e - e = e
Donc, effectivement , x ce trouve entre 0 et 1 !
Ensuite , on ce rapproche a 0.6 et 0.7 , d'apres la calculatrice :
g'(0.6) = -0.43 et g'(0.7) = 0.205...
Donc 0.6

Toto.le.zero · January 2007

"-Toi tu t'appelles Natalie avec tes yeux bridés et ta face de citron ?
-Mais non c'est pour l'exportation..."

Nathaliie · January 2007

j'ai pas tout compris . mais c'est pas grave ! aide moi plutot ! stp ..merci

Nathaliie · January 2007

erf , je cherche depuis 01:25 ( heure du forum ) , je trouve pas /.... aidez moi pour la d) svp ... je vais encore chercher toute la nuit ! peut etre c'est simple , et que je cherche trop compliquer ..
merci en tout cas !

Toto.le.zero · January 2007

"-toi tu t'appelles natalie avec tes yeux bridés et ta face de citron ?
-mais non c'est pour l'exportation..."

gilles benson · January 2007

bonjour, il est faux que g" est positive à vu de nez mais

$$ g'''(x) = 2x e^x + 3 e^x $$ permet de dire que $g'''$ est du signe de:
$$2x+3$$

donc $g''$ admet un minimum en -3/2:

$$g"(-3/2) = 2(1-e^{-3/2} > 0 $$

donc $g"$ est positive strictement et $g'$ est strictement croissante.

si $ g'(x) = 2x - 2 +( 2x -1) e^x $, l'emploi du théorème des valeurs intermédiaires pour localiser la seule solution de $g'(x)=0$ est correcte et on a bien le fait que la solution est dans ]0.6; 0.7[.

Pour le d), il faut revenir à l'idée que:

$$f''(t) = \frac{f(t)g( \ln t )}{t^4}$$

et étudier le signe de $g$ sur $\R$ à partir du signe de $g'$

En partant de:

$$ g(x) = (1-x)² + (2x - 3) e^{x} $$
$g$ admet pour limite $+ \infty$ aux bornes et par exemple:
$$g(0) = -2$$
ce qui montre que le minimum de $g$ est négatif; on applique à nouveau le théorème de localisation des solutions de $g(x)=0$ sur chaque intervalle où $g$ est monotone et on obtient deus solutions $a$ et $b$ de sorte que
$g( \ln t)$ s'annule en $t = e^a$ et $e^b$ sur $\R^{+*}$

jacquot · January 2007

Bonjour, Nat.

Reviens à la relation donnée entre f" et g donnée dans l'énoncé:
$$f''(t) = \frac{f(t)g(lnt)}{t^4}$$
comme est strictement positive, pour que f" s'annule, il faut et il suffit que g(lnt) s'annule...

Mais j'arrête là mes explications, je viens de prendre connaissance du message de gilles qui développe la même idée.

Remarque: pour le tracé de la courbe de f, les zéros de la dérivée seconde sont intéressants, car ils fournissent d'éventuels points d'inflexion, s'il y a changement de signe.

bonne continuation.

Nathaliie · January 2007

Merci beaucoup , je comprend mieux !

$ f''(t) = \frac{f(t)g(lnt)}{t^4} $ , il suffit d'etudier le signe de g(lnt) , car f et t^4 sont strictement positifs .

Alors , etudions g(lnt) :

soit $ g(x) = (1-x)² + (2x - 3) e^{x} $ , defnie sur IR .

D'abord les limites :
- Lim en -oo : $ (1-x)² + 2xe^{x} - 3e^{x} $ =+oo (d'apres le cours xe^{x} =0 )

- Lim en +oo : $ (1-x)² + (2x - 3) e^{x} $ = +oo

Ensuite le signe :

g' est strictement croissante. et s'annule entre 0.6 et 0.7 .
Prenons 0.7 comme valeur .
Alors :
- sur ]-oo;0.7] , c'est un '-' dans le tableau , car g' est strictement croissante , et g' s'annule a 0.7 . donc toutes les valeurs entre ]-oo;0.7[ sont negatives .
- sur [0.7;+oo[ , de même ; strictement croissante et s'annule en 0.7 . Donc c'est un '+' .

Ce qui signifie :
- sur ]-oo;0.7] , g est strictement decroissante ( venant de +oo)
- sur [0.7;+oo[ , g est strictement croissante . ( jusqu'a +oo )
et g(0.7) = -3.13 . est le minimun .
Donc :
- sur ]-oo;0.7] :
d'apres le theoreme de la bijection(th. valeurs intermediaires) , comme g est continue(car derivable) et strictement decroissante sur ]-oo;0.7] , et 0 est compris entre ] -3.13 ; +oo [ , alors il existe un unique reel x dans ]-oo;0.7] tel que g(x) = 0 .

- sur [0.7;+oo[ :
d'apres le theoreme de la bijection(th. valeurs intermediaires) , comme g est continue(car derivable) et strictement croissante sur [0.7;+oo[ , et 0 est compris entre ] -3.13 ; +oo [ , alors il existe un unique reel x' dans [0.7;+oo[ tel que g(x') = 0 .

Voila , il y a 2 solutions .
Maintenant , nous l'allons les trouver avec l'aide de la calculatrice .
Pour x :
g(-1) = 2.16 et g(0) = -2 , donc -1

Nathaliie · January 2007

Toto.le.zero · January 2007

[mon message effacé n'avait rien de raciste. C'était juste une citation des Inconnus en rapport avec le prénom Natalie.TLZ]

[Alors évite ce genre de formule sans citation !
cela te permettra de suivre le précepte de ta signature. AD]

Alain Debreil · January 2007

Merci beaucoup, je comprends mieux ! $$ f''(t) = \dfrac{f(t)g(\ln t)}{t^4} $$ il suffit d'étudier le signe de $g(\ln t)$ , car $f$ et $t^4$ sont strictement positifs.
Alors, étudions $g(\ln t)$ :
Soit $ g(x) = (1-x)² + (2x - 3) e^{x} $ , définie sur $\R$.
D'abord les limites :
- Limite en -oo : $ (1-x)² + 2xe^{x} - 3e^{x} =+\infty$ (d'après le cours $\lim\limits_{x\to -\infty}xe^{x} =0$ )
- Lim en +oo : $ (1-x)² + (2x - 3) e^{x} = +\infty$
Ensuite le signe :
$g' $ est strictement croissante. et s'annule entre 0.6 et 0.7 .
Prenons 0.7 comme valeur .
Alors :
- sur $]-\infty;0,7]$ , c'est un '-' dans le tableau, car $g'$ est strictement croissante, et $g'$ s'annule à 0,7. Donc toutes les valeurs entre $]-\infty;0,7[$ sont négatives.
- sur $[0,7;+\infty[$ , de même ; strictement croissante et s'annule en 0,7. Donc c'est un '+' .
Ce qui signifie :
- sur $]-\infty;0,7] ,\ g$ est strictement décroissante ( venant de $+\infty$)
- sur $[0,7;+\infty[ , g$ est strictement croissante . ( jusqu'à $+\infty$ )
et $g(0,7) = -3,13$ est le minimum.
Donc :
- sur $]-\infty;0,7]$ :
d'après le théorème de la bijection (th. valeurs intermédiaires), comme $g$ est continue (car dérivable) et strictement décroissante sur $]-\infty;0,7]$ , et 0 est compris entre $] -3,13 ; +\infty [$, alors il existe un unique réel $x$ dans $]-\infty;0,7]$ tel que $g(x) = 0$.
- sur $[0,7;+\infty[$ :
d'après le théorème de la bijection (th. valeurs intermédiaires), comme $g$ est continue (car dérivable) et strictement croissante sur $[0,7;+\infty[$ , et 0 est compris entre $] -3,13 ; +\infty [$ , alors il existe un unique réel $x'$ dans $[0,7;+\infty[$ tel que $g(x') = 0$.

Voilà , il y a 2 solutions.
Maintenant, nous allons les trouver avec l'aide de la calculatrice.
Pour $x$ :
$g(-1) = 2,16$ et $g(0) = -2$ , donc $-1 < $

jacquot · January 2007

Nathalie,

A vrai dire, je ne lis pas le détail de tes calculs que je n'ai pas faits.... l'essentiel étant que tu arrives à t'en sortir.

n'oublie pas, finalement que x = ln(t).

TLZ,

Raciste ou pas, je me suis demandé quel était le message subliminal....
peut-être juste une connerie? En tous cas, il me semblait sans rapport avec le sujet.

Nathaliie · January 2007

c'est quoi ce bug....... erf , j'avais tous notée ici , et rien au brouillons ....
je re-ecris vite fais :

Etudions le signe de g(lnt) , car f et t^4 strictement possitif . :
d'abord on etudie le signe de g(x) :
Lim en -oo et +oo =+oo
croissant sur ]-oo;0.7[
decroissant sur [0.7;+oo[
g(0.7)=-3.132

Alors ,
- comme c'est strictement decroissant sur ]-oo;0.7[ et que lim-oo=+oo et g(0.7)=-3.132 , la courbe doit passer par 0 (sauf exception) .
- comme c'est strictement croissant de ]0.7;+oo[ et que g(0.7)=-3.132 et lim+oo=+oo , la courbe ( resprensant de g) doit passer par 0 .

Trouvons ces valeurs ! :
x' :
d' apres le theoreme de la bijection (ou th. des valeurs intermediaire) comme g est continue(derivable) et strictement decroissante sur ]-oo;0.7] , et 0 est compris entre ]-3.132 ; +oo ] , alors il existe un unique reel x' dans ]-oo;0.7] tel que g'(x) = 0 .

x": d' apres le theoreme de la bijection (ou th. des valeurs intermediaire) comme g est continue(derivable) et strictement croissante sur [0.7;+oo[ , et 0 est compris entre ]-3.132 ; +oo ] , alors il existe un unique reel x' dans [0.7;+oo[ tel que g'(x) = 0 .

Voila , j'ai prouver qu'il y avais une unique solution .
Pour trouver la valeur , il faut prendre la calculatrice :

Pour x':
- g(-1)=2.16 et g(0)= -2
- g(-0.6)=0.254 et g(-0.5) = - 0.176
- g(-0.55)=0.037 et g(- 525)= - 0.0701

Pour x" :
- g(1)= -2.72 et g(2)= 8.389
- g(1.4)=-0.651 et g(1.5)=0.25
- g(1.45)= -0.223 et g(1.475)= 7.073 * 10^(-3)

Donc , les 2 solutions qui annule g(x) sont environs :
- x'= 0.-55
- x"= 1.47

Donc pour g(lnt) = e^(0.-55) et g^(1.47) .
Voila , je n'ai pas utilisée de Latex , car j'ai peur que sa re-bug.

Dites moi si j'ai juste ! En tout cas merci beaucoup a vous ! je vais faire la suite du DM !

gilles benson · January 2007

tout est juste (à moins de dire des âneries)

Nathaliie · January 2007

Bon, je vois que j'ai eu un problème, je ne voyais aucun message et j'ai donc posté ! Donc voilà ! Normalement c'est juste (ou pas ? ).
Merci !

gilles benson · January 2007

c'est tout à fait juste

Nathaliie · January 2007

Merci beaucoup ! je vais faire la suite du devoir maison !

2) - Pour tous reel strictement positif x , on pose alors $Uo(x) = 1$ , et pour tout entier naturel n , $U(n+1)(x) = x^(Un(x))$.
si la suite (Un(x)) converge , sa limite sera notée u(x)

On suppose que x>1 :

1- Etablir que la suite (Un(x)) est croissante ( on pourra raisonner par recurrence) .
2- Montrer que si elle converge alors $fou(x) = x $, en deduire qu'il faut que $x\leq e^{\frac{1}{e}$ . Que dire de la suite (Un(x)) dans le cas ou
$x > e^{\frac{1}{e}$ .
3. On suppose que $1 U0 $ : ce qui est juste : $Uo=1 et U1=x > 1$
pour tout n, si $Un+1 > Un$ alors $Un+2 > Un+1$
en effet soit $Un = a$; $Un+1 = x^a$; $Un+2 = x^(x^a)$
$ln(Un+1) = a*ln(x)$;$ ln(Un+2) = (x^a)(lnx)$
comme $(x^a) > a$,$ ln(Un+2) > ln(Un+1)$; $Un+2 > Un+1$
Donc voila c'est verifier !
(Un(x)) est croissante !

2. $fou _{n+1} (x)=f(x ^{u_n(x)}) =e ^{ \frac{u_n(x)ln(x)}{u _{n+1}(x) } }$

Si $u_n(x)$ converge vers $u(x)$, alors $ \lim_{n \rightarrow+\infty } \frac{u_n(x)}{u _{n+1}(x) } =1 $

d' où: $ \lim_{n \rightarrow+\infty } fou _{n+1} (x)=fou(x)=x$

Et la je bloque .
"en deduire qu'il faut que $x\leq e^{\frac{1}{e}$ . Que dire de la suite (Un(x)) dans le cas ou
$x > e^{\frac{1}{e}$ ."
je continue a chercher !

Merci d'avance !

Yersinia pestis0 · January 2007

Bonjour/bonsoir,

Tout est juste pour l'instant.
Un tout petit bémol : avant de calculer la dérivée d'une fonction sur un intervalle donné, il est bon de s'assurer que celle-ci est bien dérivable sur l'intervalle considéré (utiliser des théorèmes classiques de dérivabilité : somme de fonctions dérivables, produit, fonction polynôme etc.).

J'ajoute que ça fait très plaisir de voir une personne aussi motivée que Nathaliie! Bravo!

Emmanuel.

jacquot · January 2007

Visiblement, Nathaliie, tu as des difficultés avec le Latex...
ayant été destinataire de ton dernier message, qui n'est pas passé, je le colle ci dessous pour que tu puisses le reprendre par un copier-coller avant de le corriger.

un conseil: Qd tu tapes en Latex, fais un aperçu avant de poster cela peut t'éviter des petites catastrophes....

Voici donc la suite du travail de Nath:

Merci beaucoup ! je vais faire la suite du devoir maison !

2) - Pour tous reel strictement positif x , on pose alors $Uo(x) = 1$ ,
et pour tout entier naturel n , $U(n+1)(x) = x^(Un(x))$.
si la suite (Un(x)) converge , sa limite sera notée u(x)

On suppose que x>1 :

1- Etablir que la suite (Un(x)) est croissante ( on pourra raisonner par
recurrence) .
2- Montrer que si elle converge alors $fou(x) = x $, en deduire qu'il faut
que $x\leq e^{\frac{1}{e}$ . Que dire de la suite (Un(x)) dans le cas ou
$x > e^{\frac{1}{e}$ .
3. On suppose que $1 U0 $ : ce qui est juste : $Uo=1 et U1=x > 1$
pour tout n, si $Un+1 > Un$ alors $Un+2 > Un+1$
en effet soit $Un = a$; $Un+1 = x^a$; $Un+2 = x^(x^a)$
$ln(Un+1) = a*ln(x)$;$ ln(Un+2) = (x^a)(lnx)$
comme $(x^a) > a$,$ ln(Un+2) > ln(Un+1)$; $Un+2 > Un+1$
Donc voila c'est verifier !
(Un(x)) est croissante !

2. $fou _{n+1} (x)=f(x ^{u_n(x)}) =e ^{ \frac{u_n(x)ln(x)}{u _{n+1}(x) }
}$

Si $u_n(x)$ converge vers $u(x)$, alors $ \lim_{n \rightarrow+\infty }
\frac{u_n(x)}{u _{n+1}(x) } =1 $

d' où: $ \lim_{n \rightarrow+\infty } fou _{n+1} (x)=fou(x)=x$

Et la je bloque .
"en deduire qu'il faut que $x\leq e^{\frac{1}{e}$ . Que dire de la suite
(Un(x)) dans le cas ou
$x > e^{\frac{1}{e}$ ."
je continue a chercher !

Merci d'avance !

Alain Debreil · January 2007

Merci beaucoup ! je vais faire la suite du devoir maison !
 
 2) - Pour tous réel strictement positif <IMG WIDTH="12" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img1.png" ALT="$ x$">, on pose alors <IMG WIDTH="72" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img2.png" ALT="$ U_0(x) = 1$">, et pour tout entier naturel <IMG WIDTH="147" HEIGHT="37" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img3.png" ALT="$ n,\ U_{n+1}(x) = x^{U_n(x)}$">.
 si la suite <IMG WIDTH="59" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img4.png" ALT="$ \big(U_n(x)\big)$"> converge, sa limite sera notée <IMG WIDTH="34" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img5.png" ALT="$ u(x)$">
 
 On suppose que <IMG WIDTH="41" HEIGHT="29" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img6.png" ALT="$ x > 1$"> :
 1- Etablir que la suite <IMG WIDTH="59" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img4.png" ALT="$ \big(U_n(x)\big)$"> est croissante (on pourra raisonner par recurrence).
 2- Montrer que si elle converge alors <IMG WIDTH="88" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img7.png" ALT="$ f\circ u(x) = x $">, en déduire qu'il faut que <IMG WIDTH="80" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img8.png" ALT="$ x\leq \exp(\frac{1}{e})$"> . Que dire de la suite <IMG WIDTH="59" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img4.png" ALT="$ \big(U_n(x)\big)$"> dans le cas où <IMG WIDTH="80" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img9.png" ALT="$ x > \exp(\frac{1}{e})$">.
 3. On suppose que <IMG WIDTH="29" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img10.png" ALT="$ 1 U_0 $"> : ce qui est juste : <IMG WIDTH="50" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img11.png" ALT="$ U_0=1$"> et <IMG WIDTH="81" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img12.png" ALT="$ U_1=x > 1$">
 Pour tout <IMG WIDTH="13" HEIGHT="13" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img13.png" ALT="$ n$">, si <IMG WIDTH="79" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img14.png" ALT="$ U_{n+1} > U_n$"> alors <IMG WIDTH="96" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img15.png" ALT="$ U_{n+2} > U_{n+1}$">
 En effet soit <IMG WIDTH="242" HEIGHT="36" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img16.png" ALT="$ U_n = a\ ;\ U_{n+1} = x^a\ ;\ U_{n+2} = x^{x^a}$">
 <IMG WIDTH="286" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img17.png" ALT="$ \ln(U_{n+1}) = a \ln(x)\ ;\ \ln(U_{n+2}) = x^a \ln (x)$">
 Comme <IMG WIDTH="316" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img18.png" ALT="$ x^a > a,\ \ln(U_{n+2}) > \ln(U_{n+1})\ ;\ U_{n+2} > U_{n+1}$">
 Donc voilà c'est vérifié ! <IMG WIDTH="59" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img4.png" ALT="$ \big(U_n(x)\big)$"> est croissante !
 
 2. <IMG WIDTH="300" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img19.png" ALT="$ f\circ u_{n+1} (x)=f\big(x^{u_n(x)}\big) =\exp\big( \frac{u_n(x)\ln(x)}{u_{n+1}(x) } \big)$">
 Si <IMG WIDTH="42" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img20.png" ALT="$ u_n(x)$"> converge vers <IMG WIDTH="34" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img5.png" ALT="$ u(x)$">, alors <IMG WIDTH="128" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img21.png" ALT="$ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty } \frac{u_n(x)}{u_{n+1}(x) } =1 $">
 d'où: <IMG WIDTH="235" HEIGHT="33" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img22.png" ALT="$ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty } f\circ u_{n+1} (x)=f\circ u(x)=x$">
 Et là je bloque.
 "en déduire qu'il faut que <IMG WIDTH="80" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img8.png" ALT="$ x\leq \exp(\frac{1}{e})$">. Que dire de la suite <IMG WIDTH="59" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img4.png" ALT="$ \big(U_n(x)\big)$"> dans le cas où <IMG WIDTH="80" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106210/cv/img9.png" ALT="$ x > \exp(\frac{1}{e})$">."
 
 Je continue à chercher !
 Merci d'avance !

Alain Debreil · January 2007

Merci beaucoup ! je vais faire la suite du devoir maison !

2) - Pour tous réel strictement positif $x$, on pose alors $U_0(x) = 1$, et pour tout entier naturel $n,\ U_{n+1}(x) = x^{U_n(x)}$.
si la suite $\big(U_n(x)\big)$ converge, sa limite sera notée $u(x)$

On suppose que $x > 1$ :
1- Etablir que la suite $\big(U_n(x)\big)$ est croissante (on pourra raisonner par recurrence).
2- Montrer que si elle converge alors $f\circ u(x) = x $, en déduire qu'il faut que $x\leq \exp(\frac{1}{e})$ . Que dire de la suite $\big(U_n(x)\big)$ dans le cas où $x > \exp(\frac{1}{e})$.
3. On suppose que $1 U_0 $ : ce qui est juste : $U_0=1$ et $U_1=x > 1$
Pour tout $n$, si $U_{n+1} > U_n$ alors $U_{n+2} > U_{n+1}$
En effet soit $U_n = a\ ;\ U_{n+1} = x^a\ ;\ U_{n+2} = x^{x^a}$
$\ln(U_{n+1}) = a \ln(x)\ ;\ \ln(U_{n+2}) = x^a \ln (x)$
Comme $x^a > a,\ \ln(U_{n+2}) > \ln(U_{n+1})\ ;\ U_{n+2} > U_{n+1}$
Donc voilà c'est vérifié ! $\big(U_n(x)\big)$ est croissante !

2. $f\circ u_{n+1} (x)=f\big(x^{u_n(x)}\big) =\exp\big( \frac{u_n(x)\ln(x)}{u_{n+1}(x) } \big)$
Si $u_n(x)$ converge vers $u(x)$, alors $ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty } \frac{u_n(x)}{u_{n+1}(x) } =1 $
d'où: $ \lim\limits_{n \rightarrow+\infty } f\circ u_{n+1} (x)=f\circ u(x)=x$
Et là je bloque.
"en déduire qu'il faut que $x\leq \exp(\frac{1}{e})$. Que dire de la suite $\big(U_n(x)\big)$ dans le cas où $x > \exp(\frac{1}{e})$."

Je continue à chercher !
Merci d'avance !

Exercice sur les Fonctions (type Prepa)!

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