exp(2) est irrationnel

B........t
B........t
dans Arithmétique
Bonjour,

Pour les amateurs d'irrationalité. On sait évidemment depuis Hermite que $e$ est transcendant. Il existe aussi une preuve utilisant les polynômes de Niven montrant l'irrationalité de $e^{r}$ pour $r$ rationnel. Je ne parle pas de Padé ou des théorèmes de Baker et autres Gelfond-Schneider. Mais montrer l'irrationalité de $e$ est un exercice facile qui ne demande pas d'utiliser intégrales ou autres artifices. Je propose ici une preuve un peu dans cet esprit que je viens de construire (pas garantie originale) montrant que $e^2$ est irrationnel.

Soit $a_{n}=\frac{n!}{2^n}\sum_{k=1}^{n}\frac{2^k}{k!}$

1) Montrer que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{2^n}(e^2-1)-a_n=0$.
2) Montrer que si $f(n)=\frac{n!}{2^n}$ alors $2f(2^k)$ est entier pour tout $k$ entier naturel.
3) Montrer que pour tout $k$ entier naturel $a_{2^k}$ est entier.
4) En déduire que $e^2$ est irrationnel. On utilisera un critère rendu célèbre par Apéry (facile à démontrer) : s'il existe $2$ suites d'entiers strictement positifs $p_n$ et $q_n$ telles que $\lim_{n\rightarrow\infty}q_nx-p_n=0$ alors $x$ est irrationnel.

Remarque : on peut exhiber par cette méthode d'autres paires de suites (réellement différentes et non à un facteur près) montrant l'irrationalité de $e^2$. Par exemple $8f(2^k+3)$ et $4a(2^k+3)$ sont toujours entiers.

Bonne année!

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    Benoit en grande forme. Voilà qui augure du meilleur pour l'année Euler qui commencera dans 440 minutes (440=(F_7)²-(F_0)²).
  • Victor-Emmanuel
    Victor-Emmanuel
    Il me semble qu'il faut en plus que les suites $(p_n)$ et $(q_n)$ tendent vers $+\infty$ en valeur absolue...
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Bonne année Benoît.
    D'après votre critère, 1 est irrationnel: prendre x=1, p(n)=q(n)=1.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    La condition du roi Victor-Emmanuel n'est pas suffisante: prendre x=1, p(n)=q(n)=n
  • gilles benson
    gilles benson
    premiers entre eux?
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Après consultation de la page de mon copain Jean-Etienne, il faut ajouter : q(n)x-p(n) différent de 0.
    <http://perso.orange.fr/rombaldi/Capes/PbIrration.pdf&gt;
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    <<http://perso.orange.fr/rombaldi/Capes/PbIrration.pdf>&gt;
  • Sylvain
    Sylvain
    Est-ce une CNS ? Autrement dit, est-ce qu'on a:

    x est irrationnel ssi il existe deux suites d'entiers positifs $p_n$ et $q_n$ telles que $p_{n}x-q_n\neq 0$ et $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}p_{n}x-q_{n}=0}$ ?

    Sylvain
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Sylvain: il est bientôt l'heure de déboucher une roteuse, pas de se pencher sur les CNS.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Bonne année, Sylvain, bonne année tout le monde.
  • B........t
    B........t
    Merci RAJ pour le correctif, ce qui est sous-entendu doit toujours être annoncé. Dans ce cas il n'est pas dur de voir que la différence n'est jamais nulle.

    Re-bonne année, bien qu'étant sous anti-biotique je trouve que le champagne a un drôle de gout.
  • Sylvain
    Sylvain
    Bonne année à vous, Richard. Pardonnez mon ignorance, mais qu'est-ce qu'une roteuse ?
  • Victor-Emmanuel0
    Victor-Emmanuel0
    Excellente année à vous, mes très chers amis!
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    roteuse:
    bouteille de champagne ;

    "Un seau à glace d'où émergeait le col d'une rouille de Pol Roger. Deux autres roteuses, mais vides, étaient rangées à leurs pieds".

    A cause du bruit du bouchon quand il saute/ A cause du bruit quand on la débouche et de ses effets sur le buveur ; vers 1954


    Pour en revenir à x irrationnel s'il existe deux suites d'entiers tels que
    q(n)*x-p(n) différent de 0 et tend vers 0:

    Si x était dans Q, on aurait
    x=a/b et q(n)*x-p(n)=1/b*[q(n)*a-p(n)*b], qui est non nul, donc

    |q(n)*a-p(n)*b|>=1 (car le membre de gauche est entier) et par suite
    |q(n)*x-p(n)|>=1/b ne peut pas tendre vers 0.
  • Sylvain
    Sylvain
    Richard, le membre de gauche c'est bien q(n)*x-p(n) ? Pourquoi est-il entier ?
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Je parlais de |q(n)*a-p(n)*b|.
  • Sylvain
    Sylvain
    D'accord Richard.
  • B........t
    B........t
    Reformulation de cet exercice pour tenir compte de la remarque sur le critère et développements :

    Une preuve simple que $e^2$ est irrationnel

    Soit $a_{n}=\frac{n!}{2^n}\sum_{k=1}^{n}\frac{2^k}{k!}$

    1) Montrer que $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{2^n}(e^2-1)-a_n=0$.
    2) Montrer que si $f(n)=\frac{n!}{2^n}$ alors $2f(2^k)$ est entier pour tout $k$ entier naturel.
    3) Montrer que pour tout $k$ entier naturel $a_{2^k}$ est entier.
    4) En déduire que $e^2$ est irrationnel. On utilisera un critère rendu célèbre par Apéry (démontré ci-dessus par RAJ) : s'il existe $2$ suites d'entiers strictement positifs $p_n$ et $q_n$ telles que $\lim_{n\rightarrow\infty}q_nx-p_n=0$ avec $|q_nx-p_n| >0$ pour une infinité de $n$ alors $x$ est irrationnel.

    Je viens aussi d'appliquer cette méthode pour montrer l'irrationalité plus exotique de $c=\frac{1}{\sqrt{3}}\sinh{\sqrt{3}}$ mais cela concerne en fait une large famille de constantes.

    Soit $b_{n}=\frac{(2n+1)!}{3^n}\sum_{k=0}^{n}\frac{3^k}{(2k+1)!}$

    1) On a $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(2n+1)!}{3^n}c-b_n=0$.
    2) Si $g(n)=\frac{(2n+1)!}{3^n}$ alors $3g(3^k)$ est entier pour tout $k$ entier naturel.
    3) Pour tout $k$ entier naturel $3b_{3^k}$ est entier.
    4) On en déduit que $c$ est irrationnel.
  • Sylvain
    Sylvain
    Peut-on généraliser comme suit:

    $$b_n=\frac{(pn+q)!}{\alpha^n}\sum_{k=0}^{n}\frac{\alpha^k}{(pk+q)!}$$

    avec $\alpha$ entier strictement positif, $p$ et $q$ entiers naturels premiers entre eux.

    1) $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(pn+q)!}{\alpha^n}c-b_n=0}$

    2) Si $g(n)=\frac{(pn+q)!}{\alpha^n}$ alors $\alpha g(\alpha^k)$ est entier pour $k$ entier naturel

    3) pour tout $k$ entier naturel $\alpha b_{\alpha^k}$ est entier

    4) on en déduit que $c$ est irrationnel ?

    Sylvain
  • B........t
    B........t
    Non ça ne marche pas de manière si générale, il faut des propriétés de factorisation sympathiques pour que les dénominateurs ne soient pas trop gros.
  • Sylvain
    Sylvain
    Mais encore ? Tu peux préciser, s'il te plait ?
  • B........t
    B........t
    Prend par exemple :

    $b(n,x)=\frac{(3n+2)!}{x^n}\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{(3k+2)!}$
    $g(n,x)=\frac{(3n+2)!}{x^n}$
    Pour $x=1,2,3$ et $x=6$ on a $b(n,x)$ et $g(n,x)$ qui sont entiers pour tout $n$ et donc l'irrationalité de $c(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{(3k+2)!}$ en découle.

    Pour $x=4$ $2b(n,x)$ et $g(n,x)$ sont entiers et on conclu de même.

    Mais pour $x=5,7,11,13$ ce n'est pas si simple, on n'a pas de constante $K$ à mettre en facteur pour avoir $Kb(n,x)$ et $Kg(n,x)$ entiers pour tout $n$. Je ne dis pas que l'on ne peut pas trouver une fonction $K(n)$ qui permettrait aussi de conclure mais ce n'est pas une constante.

    Pour $x=12$ on a $2b(n,12)$ et $g(n,12)$ qui sont entiers et là ça marche de nouveau, $c(12)$ est irrationnel selon cette méthode.
  • Sylvain
    Sylvain
    C'est amusant, je remarque que les facteurs premiers des $x$ pour lesquels ça marche appartiennent à $\{2,3\}$...Est-ce dû au hasard ?

    Sylvain
  • B........t
    B........t
    Non ce n'est pas du au hasard. Mais je n'ai répondu que partiellement. Il y a aussi des cas particuliers comme $g(n)=(2n+1)!/3^n$ que j'ai mentionné plus haut. Il n'y a pas de constante $K$ telle $Kg(n)$ soit toujours entiers, mais en utilisant la formule classique qui donne la plus grande puissance de $3$ qui divise $(2n+1)!$ on a :

    $val((2\,3^n+1)!,3)=3^n-1$ où $val$ est la valuation. Donc tu vois que $3g(3^n)$ est entier...etc.

    J'ai en fait trouvé une formule de récurrence pour les dénominateur, appelons les $a(n)$, de cette suite $g(n)$ :
    $a(9n)=a(9n+1)=a(3n)$
    $a(9n+2)=a(9n+3)=3a(3n)$
    $a(9n+4)=a(n)$
    $a(9n+5)=a(9n+6)=a(9n+7)=3a(n)$
    $a(9n+8)=9a(n)$

    Je me suis aussi amusé à chercher une formule qui donne le dénominateur de $(4n+1)!/5^n$ :-)

    $a(25n)=a(25n+1)=a(5n)$ $a(25n+2)=a(25n+3)=a(25n+4)=a(25n+5)=5a(5n)$
    $a(25n+6)=a(n)$ $a(25n+7)=a(25n+8)=a(25n+9)=a(25n+10)=a(25n+11)=5a(n)$ $a(25n+12)=25a(n)$ $a(25n+13)=a(25n+14)=a(25n+15)=a(25n+16)=a(5n+3)$ $a(25n+17)=a(25n+18)=5a(5n+3)$ $a(25n+19)=a(25n+20)=a(25n+21)=a(5n+4)$ $a(25n+22)=a(25n+23)=a(25n+24)=5a(5n+4)$
  • Sylvain
    Sylvain
    Voilà ce que j'appelle du beau boulot, mon ami... :-)
  • B........t
    B........t
    A la demande quasi-générale, j'essaie de rendre plus "self contained" l'exercice pour $e^2$. On est je crois un peu au dessus du niveau Lycée.

    "Une preuve sans utiliser d'intégrale de l'irrationalité de $e^2$"

    Soit :

    $a(n)=\frac{n!}{2^n}\sum_{k=0}^{n}\frac{2^k}{k!}$
    et
    $f(n)=\frac{n!}{2^n}$

    1) Montrer que si $x>0$ et que $(p_n)$ et $(q_n)$ sont $2$ suites d'entiers positifs telles que $\lim_{n\rightarrow\infty}q(n)x-p(n)=0$ avec $|q(n)x-p(n)|>0$ pour une infinité de $n$, alors $x$ est irrationnel.
    2) Montrer que $\lim_{n\rightarrow\infty}f(n)e^2-a(n)=0$
    3) Montrer que $\forall n$, $a(n)$ et $f(n)$ ont le même dénominateur.
    4) Montrer que si $p$ est premier, la plus grande puissance de $p$ qui divise $n!$ est donnée par la formule de Legendre $\sum_{k\geq 1}\lfloor{n/p^k}\rfloor$
    5) Déduire de 3) et 4) que $2a(2^k)$ et $2f(2^k)$ sont entiers pour tout entier $k$.
    6) Conclure que $e^2$ est irrationnel.
  • bs1
    bs1
    Bonjour,

    cf : le Duverney.
    --> pour e, $q(n)=n!$ et $p(n)=n! \sum_{k=0}^{n} 1/k!$ conviennent .
    --> par contre, Duverney n'attribue à personne ce critère dû à Apéry [théorème 1.5 , page 5, présenté sous une forme légèrement différente ).
    Merci pour cette référence.
    --> jolie, ton approche pour $e^2$.

    Amicalement.
  • B........t
    B........t
    Comme on disait dans une célèbre émisssion : merci Bernard!

    Je n'attribue pas le critère à Apéry, je crois qu'il était connu depuis longtemps, mais Apéry est le premier à l'avoir employé avec autant de force pour $\zeta(3)$ et $\zeta(2)$. Par la suite de nombreux mathématiciens ont chercher à trouver des paires de suites pour de nombreuses constantes, en particulier notre RAJ national pour la somme des inverses des nombres de Fibonacci.

    L'exemple très didactique suivant illustre bien et simplement ce critère. On peut montrer que $\sqrt{2}$ est irrationnel en développant $(\sqrt{2}-1)^n$.
  • bs1
    bs1
    D'accord Benoît,

    En espérant que notre RAJ , à qui je présente mes meilleurs voeux de bonheur, de santé et d'humour , nous offrira le lien correspondant à l'irrationalité de la somme des inverses des nombres de Fibonacci.

    Autrement , toujours dans le Duverney, exo 1.9 p7, c'est aussi par cette méthode qu'est démontré : la somme des inverses des nombres de Fermat (notés $F_n$ également !) est irrationnelle. [ je n'avais pas encore fait cet exercice, tu me donnes envie de le faire ]

    Merci pour la méthode avec $\sqrt{2}$.

    Bonne année à toi aussi.
  • B.........t
    B.........t
    On me signale que Liouville a utilisé des simplifications de valuations de ce style pour montrer en 1840 des résultats d'indépendance pour des puissances de $e$. On trouve cela sur Gallica :

    http://gallica.bnf.fr/document?O=N016384

    Tome 5 du Journal de Liouville 1840, page 192 pour $e$ et $e^{-1}$ et surtout 193 et1 94 pour $e^2$ et $e^{-2}$.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Bonne année à tous, Benoît, bs (Sylvain, c'est déjà fait).

    J'aurais bien aimé me pencher sur cet intéressant problème, mais je n'ai même pas eu le temps de regarder en détail la preuve de Benoît, pour la comparer aux preuves existantes.
    Entre des centaines de copies à corriger et 5 ou 6 examens à préparer pour la semaine de rentrée, je ne vois pas les vacances passer (Inutile de parler de l'organisation administrative de tout ce foutoir de semestrialisation).

    J'aurais pourtant aimé ressortir quelques archives sur tous ces sujets. Mais ce sera pour plus tard.
  • Sylvain
    Sylvain
    Si ça ne tenait qu'à moi Richard, je vous accorderais une année sabbatique.
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    C'est gentil, Sylvain, mais je n'en ai pas les moyens.
  • B........t
    B........t
    Je poste une bafouille vite rédigée en format word pour e^2.
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