matrice et valeurs propres

brice · January 2007

\usepackage{amsmath}

Bonjour, je ne connais pas les méthodes pour résoudre ce genre d'exercice. pouvez vous me donner quelques indications s'il vous plait ?

voici l'énoncé:

Soit $A$ la matrice réelle d'ordre $n$ $n>2$ où tous les coefficients de la première ligne, de la première colonne, de la dernière ligne, et de la dernière colonne sont égaux à 1, les autres coefficients étant nuls.
pour quelles valeurs de $n$ les valeurs propres de $A$ sont elles des entiers relatifs?

$ \begin{pmatrix}
1&1&...&1&1 \\
1&0&...&0&1 \\
.&.&...&.&. \\
.&.&0&.&. \\
.&.&...&.&. \\
1&0&...&0&1 \\
1&1&...&1&1 \\
\end{pmatrix}$

nathan_g · January 2007

Il suffit de calculer ces valeurs propres en calculant det (A - x I).
Ce determinant se calcule simplement, après avoir soustrait la dernière ligne à la première (cette opération ne modifiant pas la valeur du déterminant).

brice · January 2007

je ne trouve pas que le calcul de ce déterminant soit si simple que cela...

brice · January 2007

Je n'y arrive pas et cela ne semble pas vous inspirer. Tant pis merci pour votre aide. Je demanderai à un de mes enseignants. Bonne journée

[Un peu de persévérance, abandonner après 1H30 sur le forum ... AD]

Lebesgue0 · January 2007

Bonjour,

Je trouve également que le calcul du polynôme caractéristique est assez fastidieux.
On suppose n>2.
Cependant, on sait que la matrice est diagonalisable et que ses valeurs propres sont réelles. 0 est d'ordre n-2. Il reste donc deux valeurs propres d'ordre 1 ou une seule d'ordre 2, à chaque fois non nulle.
On cherche des vecteurs propres en posant le système $AX= \lambda X$

On trouve que X s'écrit sous la forme (a,b,b,...,b,a)
On remarque que si a= 0 alors X=0 donc on peut supposer a=1.

lambda est solution de :
x²-2x-2*(n-2)=0

Rq : On peut vérifier ici que l'on ne s'est pas trompé car la somme des racines doit valoir 2 (la trace de A), ce qui est bien le cas.
La suite est facile.

Lebesgue

skilveg · January 2007

Bon... Je ne pensais pas que c'était si simple... Moi, j'ai calculé ce fichu polynôme *snif*

Amicalement

brice · January 2007

bonsoir

alors voila j'ai trouvé les valeurs propres $\lambda =1 \pm \sqrt{2n-3}$

et ainsi on a bien $\lambda \in \Z \Leftrightarrow \exists p \in \Z \ \ tq\ \ 2n-3 = p^2$

est ce exact?

brice · January 2007

Bonjour à tous

je bloque encore sur cet exercice. je ne suis pas très productif après ces fêtes !

je suis parti sur mon idée précedente mais je n'aboutis pas. quelqu'un aurait il une autre idée pour trouver les entiers $n$ tels que $\lambda \in \Z$ ?

brice · January 2007

toujours pas d'aide supplémentaire ?

brice · January 2007

Bonjour !

ca y est enfin ! les entiers $n$ tels que les valeurs propres de $A$ soient des entiers relatifs sont les entiers de la forme: $n= \frac{(2k+1)^2+3}{2}$
avec $k\geq 1$ ou encore $n=2(k^2+k+1)$

si quelqu'un pouvait confirmer ou infirmer ma réponse, merci.

skilveg · January 2007

Je confirme

brice · January 2007

cool merci !

matrice et valeurs propres

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Bonjour!

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