Inégalité à prouver !

Bonsoir tout le monde !
J'ai une ptite inégalité à proposer aux fans d'inégalités et aux autres s'ils veulent bien y jeter un coup d'oeil. Une aide pour trouver une solution basique est la bienvenue !

Soit $\alpha_i$ $i \in \N$ des réels positifs (avec une infinité d'entre eux non nuls) alors on a

$\forall \delta \in [0,1[ $

${\bf \sum_{i\in\N} \frac{\alpha_i}{(\sum_{j>i}\alpha_j)^\delta} \leq \frac{\sum_{i\in\N} \alpha_i}{1-\delta} }$

(avec comme convention $\infty^0 = 1$)

ps : pour ceux qui s'occupent du forum est ce qu'il serait possible de mettre la formule en un peu plus grand s'il vous plait ?

Réponses

  • Bonsoir tout le monde !
    J'ai une petite inégalité à proposer aux fans d'inégalités et aux autres s'ils veulent bien y jeter un coup d'oeil. Une aide pour trouver une solution basique est la bienvenue !

    Soit $ \alpha_i, \ i \in \mathbb{N}$ des réels positifs (avec une infinité d'entre eux non nuls) alors on a $$ \forall \delta \in [0,1[ ,\quad \sum_{i\in\mathbb{N}} \frac{\alpha_i}{(\sum_{j>i}\alpha_j)^\delta} \leq \frac{\sum_{i\in\mathbb{N}} \alpha_i}{1-\delta} }$$ (avec comme convention $ \infty^0 = 1$)

    PS : pour ceux qui s'occupent du forum est ce qu'il serait possible de mettre la formule en un peu plus grand s'il vous plait ?
  • Salut

    C'est douteux. En prenant $\alpha_i = \frac{1}{4^{i+1}}$ et $\delta=1/2$ ça marche carrément pas.
  • Oups veuillez me pardonner j'ai oublié un exposant ... :
    $$\sum_{i \in \N} \frac{\alpha_i}{( \sum_{j \geq i} (\alpha_j) )^\delta} \leq \frac {(\sum_{i \in \N} (\alpha_i) )^\eta} {\eta} $$

    avec $\eta = 1 - \delta$
    Comme çà c'est mieux nan ? çà remarche avec ton ancien contre exemple ? (bon normalement là je me suis pas trompé ... mais bon : X )
  • Personne pour essayer de démontrer mon inégalité (la deuxième présentée ... ) ?
  • Allez, je me lance dans le latex..

    On pose $\sum_{i=0}^{\+infty} \alpha_i =\beta$

    L'egalite est vraie ssi elle est vraie lorsqu'on divise par $\beta^{\eta}$
    Ca donne

    $$\sum_{i \in \N} \frac{\alpha_i}{( \sum_{j \geq i} (\alpha_j) )^\delta*\beta^{1-\delta}} \leq \frac {1} {\eta} (1) $$

    Or $\beta \geq \sum_{j \geq i} (\alpha_j) )^\delta$
    Par consequent le membre de droite reecrit
    $\sum_{i \in \N} \frac{\alpha_i}{\beta}* (frac{\sum_{j \geq i} (\alpha_j) )}{\beta} )^\delta$

    est majore par

    $\sum_{i \in \N} \frac{\alpha_i}{\beta}=1$

    qui a son tour est bien majore par $\frac{1}{1-\delta}$

    Donc (1) est vraie! Ouf!
  • On pose <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="101" HEIGHT="40" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106165/cv/img1.png&quot; ALT="$ \sum_{i=0}^{\+infty} \alpha_i =\beta$"></SPAN>

    <BR>L'égalité est vraie ssi elle est vraie lorsqu'on divise par <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="21" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106165/cv/img2.png&quot; ALT="$ \beta^{\eta}$"></SPAN>
    <BR>Ca donne
    <P></P><DIV ALIGN="CENTER" CLASS="mathdisplay"><IMG WIDTH="221" HEIGHT="51" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106165/cv/img3.png&quot; ALT="$\displaystyle \sum_{i \in \mathbb{N}} \frac{\alpha_i}{( \sum_{j \geq i} (\alpha_j) )^\delta*\beta^{1-\delta}} \leq \frac {1} {\eta} (1) $"></DIV><P></P>
    Or <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="114" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106165/cv/img4.png&quot; ALT="$ \beta \geq \sum_{j \geq i} (\alpha_j) )^\delta$"></SPAN>
    <BR>Par conséquent le membre de droite réecrit
    <BR><SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="161" HEIGHT="46" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106165/cv/img5.png&quot; ALT="$ \sum_{i \in \mathbb{N}} \frac{\alpha_i}{\beta}* (\frac{\sum_{j \geq i} (\alpha_j) )}{\beta} )^\delta$"></SPAN> est majore par
    <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="91" HEIGHT="32" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106165/cv/img6.png&quot; ALT="$ \sum_{i \in \mathbb{N}} \frac{\alpha_i}{\beta}=1$"></SPAN>

    <BR>qui a son tour est bien majoré par <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="29" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106165/cv/img7.png&quot; ALT="$ \frac{1}{1-\delta}$"></SPAN>

    <BR>Donc (1) est vraie! Ouf !
  • « <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="114" HEIGHT="35" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2007/01/4/106169/cv/img1.png&quot; ALT="$ \beta \geq \sum_{j \geq i} (\alpha_j) )^\delta$"></SPAN> »
    <BR>
    <BR>Non, c'est faux en général.<BR><BR><BR>
  • Bien vu Guimauve , en plus anonyme fait passer au numérateur la somme sur les indices >=i alors qu'elle est au dénominateur ...
  • Ah, j'aurais du me relire, je suis vraiment desole....

    ptitloupfouchou, ou est ce que tu as trouve cette inegalite, car elle me donne une impression de deja vu....
  • Ben c'était dans un problème de probabilité j'avais une inégalité à prouver et appliquée à des variables à valeurs entères on obtient l'inégalité que j'ai donnée avec donc un terme de normalisation du à la somme qui est quelquonque ...
    Le truc c'est que pour le montrer j'avais voulu me ramener à cette inégalité que finalement je n'ai pas réussi à établir par des moyens "élémentaires" mais bon vu ma nullité en matière d'inégalités "élémentaires" je la poste ici pour avoir la solution ...

  • Bonsoir,

    au cas ou vous chercheriez encore une preuve je vous soumets une idee.

    Passer par la comparaison serie-integrale:

    1) notons $S_i = \sum_{j \geq i} \alpha_j $. La suite $S_i$ est decroissante et tend vers 0; j'imagine, bien que ce ne soit pas dit, que la serie des $\alpha_i$ est positive et convergente ce qui implique que la suite des restes tend vers 0.

    2) on a par decroissance de la fonction $x \mapsto x^{- \delta}$ l'in\'egalit\'e
    $$ S_{i}^{- \delta} \hspace{0.1cm} (S_i - S_{i +1}) \leq \int_{S_{i+1}}^{S_{i}} x^{- \delta} dx $$
    et quand on somme on obtient l'in\'egalit\'e vu que $S_i - S_{i+1} = \alpha_i $ et
    $$ \begin{array}{llcc}
    \sum_i \int_{S_{i+1}}^{S_{i}} x^{- \delta} dx & = \int_{0}^{S_0} x^{- \delta} dx \\
    & = \frac{1}{1 - \delta} S_{0}^{1 - \delta} \\
    \end{array} $$
  • Merci beaucoup Fadalbalashkatan! ma nullité pour les inégalités est pire que je ne le pensais lol :D
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