Calcul, polynômes

Averse0
Averse0
dans Algèbre
Bonjour, si on a un polynôme $\textbf{irréductible}$ de degré $3$ sur un corps $K$ de caractéristique $0$ : $P=(X-a)(X-b)(X-c)$ dont les racines sont dans une extension $L$ de $K$. On peut définir le discriminant $D=(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2$ et sa racine $\sqrt{D}=(a-b)(a-c)(b-c)$.
Le but est d'exprimer $b$ et $c$ en fonction de $a$ et de $\sqrt{D}$.

On peut poser $P_a=(X-b)(X-c)$ ainsi $\sqrt{D}=P_a(a)(b-c)$

On sait que les racines de $P$ sont distinctes puisque l'extension $K\subset K(a)$ est séparable et $P$ est irréductible sur $K[X]$, donc dans les calculs on peut diviser par $(a-b), (a-c), (b-c)$ ou $P_a(a)$.

Mais sinon je n'arrive pas à résoudre cette question ; on m'indique qu'il faut résoudre un système linéaire mais on n'en a qu'une partie c'est l'équation $\sqrt{D}=P_a(a)(b-c)$.

Merci d'avance.

Réponses

  • Nico
    Nico
    Comme idée, on pourrait poser b=a+b', c=a+c'
    alors ton équation ne comporte plus a, et on peut ensuite résoudre une équation du second degré pour avoir c' en fonction de b', et ainsi on trouve une équation uniquement sur b'

    Si on la résout (je crois que ça se fait même si ce n'est pas très beau à voir), on a la réponse à ta question
  • Averse0
    Averse0
    Je ne vois pas comment résoudre une équation du second degré dans un corps quelconque ?
  • Averse
    Averse
    Bonjour, je relance ce sujet surlequel je n'arrive pas à envisager d'avancé.
  • gb0
    gb0
    On connaît $\sigma_1 = a+b+c \in K$ à partir des coefficients de $P$.
    Ta deuxième équation est donc $b+c = \sigma_1 -a$
  • Averse
    Averse
    Oui c'est ce que je pensais il faut supposer connus les coefficients de $P$. Notamment $-\sigma_1$ le terme en $X^2$

    Je comprends pas Latex ne marche plus...


    [C'est l'Aperçu qui ne marche pas encore sur le nouveau forum,
    mais ce n'est pas très grave puisqu'il est possible de modifier son propre message. AD]
    [corrigé selon ton indication. AD]
  • gb0
    gb0
    Ton polynôme est en premier lieu un élément de $K[X]$ sous la forme $X^3 - \sigma_1 X^2 + \sigma_2 X - \sigma_3$.

    Dans une extension $L$, il a des racines $a$, $b$, $c$, et on te demande d'exprimer $b$ et $c$ en fonction de $a$ et $\sqrt{D}$, mais on peut bien évidemment utiliser les éléments de $K$ que sont les $\sigma_k$ :p our calculer $b+c$ d'une part, mais aussi pour exprimer,$P_a(a)$ qui intervient dans la valeur de $b-c$.

    En fait, on veut avoir une expression de $b$ et $c$ dans $K[a,\sqrt{D}]$.
  • Averse
    Averse
    Oui c'est ca le but c'est de montrer que $b$ et $c$ sont dans $K(a,\sqrt{D})$.
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