Z/nZ corps ou corps commutatif?

fiona1
fiona1
dans Arithmétique
Bonsoir, une proposition me trouble :
Doit-on dire Z/nZ est un corps ssi n est premier ou
Z/nZ est un corps commutatif ssi n est premier
car dans ma démonstration, on arrive à un moment où on dit
"Z/nZ non intègre donc Z/nZ n'est pas un corps".

Cependant, ne dit-on pas que pour G un ensemble non vide muni de deux lois soit intègre, il faut que G soit un anneau commutatif et que l'implication suivante soit vrai : ab=0 implique a=0 ou b=0 ?
Merci d'avance.

Réponses

  • Sylvain
    Sylvain
    Si je ne m'abuse, intègre=sans diviseur de 0.

    Si tu prends Z/2Z, qu'on peut écrire {0,1}, tu ne peux pas avoir 2.y=1 avec y dans Z/2Z. On pourrait en déduire que 2 n'a pas d'inverse, donc que Z/2Z n'est pas un corps...Car on demande un corps de vérifier que pour tout élément x différent de 0, x admet un inverse. Seulement dans Z/2Z, 2=0 !!
    Bon en fait c'est une égalité entre classes d'équivalence, pas entre nombres, mais c'est l'idée.

    En espérant ne pas avoir dit trop de conneries © Toto.le.zéro
  • chris26
    chris26
    Z/nZ est un anneau commutatif donc s'il s'avère être un corps pour l'un ou l'autre n, ce corps sera commutatif.
    En résumé : la première proposition est meilleure (et la seconde est juste aussi mais il y a une redondance).
  • galax1
    galax1
    Bonjour,

    Voici un lien : <http://fr.wikipedia.org/wiki/Corps_fini&gt;
    Regarde en particulier l'énoncé du théorème de Wedderburn :
    Tout corps fini est commutatif.

    Bonne année
    Galax
  • Ben pas loggué
    Ben pas loggué
    Pour moi (et pour les programmes officiels français), un corps c'est toujours commutatif, sinon on appelle ça un corps à gauche ou une algèbre à division.
  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    Alors pourquoi parle-t-on du corps des quaternions ?
  • fiona1
    fiona1
    Merci pour vos reponses
  • corentin
    corentin
    Pour embêter les candidats à l'agrég en posant une question passionnante du genre "qu'appelez vous un corps?"
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    .
  • Sylvain
    Sylvain
    Pour moi un corps n'est pas forcément commutatif...Les anglais appellent "field" (littéralement "champ") un corps commutatif.
  • GreginUK
    GreginUK
    la terminologie "officielle" en France est "corps" pour corps commutatif et "corps gauche" pour les corps non commutatifs.
  • ±&#960;
    ±&#960;
    @Sylvain :
    "Si tu prends Z/2Z, qu'on peut écrire {0,1}, tu ne peux pas avoir 2.y=1 avec y dans Z/2Z. On pourrait en déduire que 2 n'a pas d'inverse, donc que Z/2Z n'est pas un corps"
    mais dans Z/2Z : 2 = 0 non ? ( classes)
  • Sylvain
    Sylvain
    Oui, et c'est bien ce que j'ai ajouté... :-)
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Pour moi, un corps n’est pas nécessairement commutatif.
    Quant à $\frac{\Z}{2 \Z}$, c’est un corps. Son groupe des inversibles est lui-même privé de zéro.

    On ne loue d’ordinaire que pour être loué.
    -+- François de La Rochefoucauld (1613-1680), Maximes 146 -+-
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • ahmed15
    ahmed15

    > je veut la demonstration s'il veut plait

    >
    >
  • blue_matematics
    blue_matematics
    Bonsoir,

    J'aurais également une question sur les corps finis : le th de Wedderburn affirme que tout corps fini est commutatif. Cependant, concernant la construction des corps finis, a quel endroit a-t-il une réelle utilité ?

    En effet par définition, le corps à $q=p^n$ éléments est le corps de décomposition de $X^q-X$ sur $\mathbb{F}_p$. Or $\mathbb{F}_p$ est commutatif on le sait déjà sans le théorème de Wedderburn, et le corps de décomposition d'un polynome sur un corps commutatif est commutatif. Donc ca justifie déjà que $\mathbb{F}_q$ est commutatif, ou alors j'ai raté quelque chose.

    Merci d'avance.
  • PB
    PB
    blue_mathematics a écrit:
    par définition, le corps à $ q=p^n$ éléments est le corps de décomposition de $ X^q-X$ sur $ \mathbb{F}_p$

    Non, par définition le corps de décomposition de $X^q-X$ sur $ \mathbb{F}_p$ se note $ \mathbb{F}_q$. Ce n'est pas la même chose.
  • blue_matematics
    blue_matematics
    Ok je vois, il faut alors vérifier que $\mathbb{F}_q$ possède exactement $q$ éléments, et que tout corps possèdant $q$ éléments est isomorphe à $\mathbb{F}_q$.
  • Marc pas loggue
    Marc pas loggue
    "et le corps de décomposition d'un polynome sur un corps commutatif est commutatif. "

    Comment justifies-tu cela?
  • PB
    PB
    "et le corps de décomposition d'un polynome sur un corps commutatif est commutatif. "
    Cette fois c'est par définition :)
  • blue_matematics
    blue_matematics
    Marc pas loggue Écrivait:
    > "et le corps de décomposition d'un polynome sur un
    > corps commutatif est commutatif. "
    >
    > Comment justifies-tu cela?


    Là je ne suis pas vraiment sur de moi : un peu comme la démonstration de l'existence du corps de décomposition, on peut raisonner par récurence sur le degres de $P$.

    Pour passer du rang n à n+1, on distingue les cas. Si $P$ admet une racine dans $K$ notée $a$, alors le corps de décomposition de $P$ est le meme que celui de $Q$ défini par $P=(X-a)Q$, et $Q$ étant de degres $n$ on applique l'hypothèse de récurence.

    Sinon on se donne une racine $a$ de $P$ dans une extension, et on se place dans le corps $K_1=K(a)$. $K_1$ est le corps de rupture du polynome minimal de $a$ sur $K$ donc est commutatif. Ensuite on écrit $P=(X-a)Q$, et on note $L$ le corps de décomposition de $Q$ sur $K_1$ qui est commutatif d'apres l'hypothèse de récurence. Comme il contient toutes les racines de $P$, il contient également le corps de décomposition de $P$, donc ce dernier est commutatif (un corps inclus dans un corps commutatif est commutatif).

    Mon niveau en algèbre ne me permet pas d'etre sur de cette démonstration.
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