dérivée n-ième

Bonjour

Voici un exercice d'application de la formule de Leibniz pour ceux qui veulent le faire (tiré de mon dm de ces vacances) :

Question supplémentaire par moi :

Montrer qu'on a $${\boxed{P_n (x) = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{( - 1)^{\left\lfloor {\frac{k}{2}} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor + r(k)} 4^{\left\lfloor {\frac{k}{2}} \right\rfloor - \left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor } n!^2 }}{{k!\left( {\left( {\left\lfloor {\frac{n}
{2}} \right\rfloor - \left\lfloor {\frac{k}{2}} \right\rfloor } \right)!} \right)^2 }}r\left( {n + k + 1} \right)x^k } }{\text{ }}{\text{, avec }}\boxed{r(k) = \frac{{1 - ( - 1)^k }}{2}}}$$

Cordialement Yalcin