et si on parlait de 163

Bs, as-tu vu pi le film de daren aronovsky ? Ce film montre bien a quel point dès que tu te "focalise" sur un nombre ou une sequence de chiffres particulière, tu peux lui trouver d'inombrable caractéristiques interessantes... Cela provient en grande partie du fait que la liste des caractéristiques que l'on attribue aux nombres est non exhaustive. En fait tout ce situe là : qu'appelle-t-on "caractéristique intéressante" pour un entier ?

Bon trève de blabla pseudo-philosophique effectivement 163 semble mystique à bien des points de vue...

Perso je prefere 4 (le groupe de Klein premier groupe non cyclique, les classes de conjugaisons dans $\S_4$ sans oublier qu'un entier impairs est somme de 2 carrés ssi il est congru à 1 modulo 4..X+0..)

amicalement

t-mouss

Autre observation rigolote: $163 (=p_{2\times 19})-p_2\times p_{19}=163-3\times 67=163-201=-38=-2\times 19$

Sylvain

Bonjour Bernard,

A défaut d'avoir la référence sur toutes 163 preuves de la loi de réciprocité quadratique je te donne juste un lien concernant la démonstration mécanique de ce résultat :
<http://www.russinoff.com/papers/gauss.pdf&gt;

Sincèrement,
Galax

Demain, je vais jouer le 1-6-3 au tiercé.

1: "Lilia du poulet" à 78/1 (c'est bien parti pour assurer la fin du mois)
6: "Ludo du parc" à 7/1 (il faut toujours mettre un favori)
3: "Kent barbès" à 26/1 (mais il est drivé par Michel Lenoir).

Si ce n'est pas le tiercé dans l'ordre, cela prouvera au moins que tout ce qui est au dessus n'est qu'élubucration.

En complément du lien fourni par Galax, j'aurais envie de signaler les (petites) choses suivantes :

1. La fonction $j$ est définie dans cet article de manière inhabituelle, me semble-t-il. Cet invariant elliptique est en général donné par la formule suivante. Pour tout $\tau \in \C$ tel que $\Im \tau > 0$, on a : $$j(\tau) = 1728 \times \frac {g_2^3(\tau)}{g_2^3(\tau) - 27 g_3^2(\tau)},$$ où $g_2$ et $g_3$ sont les fonctions de Weierstrass $$g_2(\tau) = 60 \sum_{(m,n) \not = (0,0)} \frac {1}{(m+n \tau)^4},$$ et $$g_3(\tau) = 140 \sum_{(m,n) \not = (0,0)} \frac {1}{(m+n \tau)^6}.$$ Comme il ne se sert pas de la définition choisie, il aurait pu mettre celle-ci, associée au réseau $[1,\tau]$.

2. La commande PARI pour $j$ est {\bf ellj(x)}, avec $x$ de partie imaginaire $> 0$.

3. Si $n > 0$, alors $j \left ( \sqrt {-n} \right )$ est surtout connu pour être un élément primitif d'un corps de classes $\mathbb {L}$ bien particulier, corps de classes associé à l'ordre $\mathcal {O} = \Z [\sqrt {-n}]$ du corps quadratique imaginaire $\K = \Q (\sqrt {-n})$, et dont une équation fournit la réponse au problème posé par Loulmet il n'y a pas longtemps : caractériser les premiers $p$ s'écrivant sous la forme $p = x^2 + ny^2$. En outre, $p$ s'écrit sous cette forme $\Longleftrightarrow$ $p$ se décompose totalement dans $\mathbb {L}$.

En particulier, si $n > 0$ est sans facteur carré et, surtout, si $n \not \equiv 3 \pmod 4$, alors l'ordre $\mathcal {O} = \Z [\sqrt {-n}]$ est alors l'anneau $\mathcal {O}_{\K}$ de $\K$, et $\mathbb {L} = \K(1)$ est le corps de classes d'Hilbert de $\K$ (commande PARI : {\bf quadhilbert(d)}, où $d$ est le discriminant de $\K$). Ainsi, sous les hypothèses précédentes, $j(\sqrt {-n)}$ est un élément primitif du corps de classes d'Hilbert de $\K$, et il est facile de caractériser les nombres premiers $p = x^2 + ny^2$.

4. En général, le calcul des valeurs explicites (à la main) de $j(\sqrt {-n})$ est franchement difficile. Cox donne dans son livre la démarche suivie par Weber pour le calcul de $j(\sqrt {-14})$, dont le résultat est : $$j(\sqrt {-14}) = 2^3 \left ( 323 + 228 \sqrt 2 + (231 + 161 \sqrt 2) \sqrt {2 \sqrt 2 -1 } \right )^3$$ qui est de degré $4$.

Borde.

Notons aussi que la partie fractionnaire de $e^{\pi\sqrt{163}}=.99999999999924980...$ vaut environ $1-\frac{1}{163^{\sqrt{30}}}=.9999999999992355...$

De même:
la partie fractionnaire de $e^{\pi\sqrt{43}}=.9997774660...$ vaut environ $1-\frac{1}{43^{\sqrt{5}}}=.9997774367...$

C'est troublant.

Sylvain

J'oubliais que notre ami t-mouss éprouvait une profonde aversion pour tout ce qui ressemble à de l'expérimentation numérique...

Bonjour AG,

Ma phrase est effectivement mal dite : à ma connaissance, ce problème n'est pas résolu (la présence de l'unité fondamentale ici gêne considérablement les choses lorsque l'on veut appliquer Brauer-Siegel).

On peut d'ailleurs en profiter pour faire, sur cette question, un petit {\bf état des lieux} ({\it que ceux qui ont des connaissances à faire partager n'hésitent pas} !) :

1. Conjecture de Cohen-Lenstra : soit $p$ premier. La probabilité que le corps quadratique $\K = \Q(\sqrt p)$ soit principal est supérieure à $0,75$.

2. Le nombre de corps quadratiques réels principaux de discriminants $d$ tel que l'unité fondamentale $\varepsilon_d$ vérifie $\varepsilon_d < 2d$ est fini (54 corps, avec une exception possible pour $d$).

3. Le nombre de corps quadratiques réels principaux $\K = \Q(\sqrt d)$ {\it de type R-D} (type Richaud-Degert, ie $d = n^2 + r$ avec $r \mid 4n$ et $|r| \leqslant n$) est fini (39 corps).

4. Soit $\K = \Q(\sqrt {4n^2+1})$. Alors $\K$ est principal si et seulement si les nombres $n^2 - k(k+1)$ sont premiers (avec $1 \leqslant k \leqslant n-1$).

5. Soit $\K = \Q(\sqrt {(2n+1)^2+1})$. Alors $\K$ est principal si et seulement si les nombres $n^2 + n + 1 - k(k+1)$ sont premiers (avec $1 \leqslant k \leqslant n-1$).

etc.

Borde.

Désolé: le coup du 1-6-3 n'a pas marché. C'est dommage pour bs, j'étais prêt à signer un chèque de 163 €.

Remarquons toutefois que le gagnant est le 16 (j'avais eu l'idée, au dernier moment, de remplacer l'aléatoire 1-6-3 par un couplé 16-3). Mais le 3 était absent au rendez-vous.

On est en train de parler de choses sérieuses (les courses de bourrins) et le Gilles vient nous perturber avec ses fonctions modulaires.

lire 51218 = 2x25609...

25609 est la somme de deux carrés:160²+3²...163 n'est pas loin !

"Ma freebox affiche parfois 11:11... c'est inquiétant."

Mon horloge aussi, et le plus bizarre c'est que ce phénomène inquiétant se passe tous les jours à la même heure.

$\R / 24 \Z $ plutôt ?

En esperant ne pas avoir dit trop de conneries.

disons que mon horloge fait des cycles de 24 heures.

Pour Borde: merci pour ces precisions! J'ignorais qu'il y avait des resultats de ce type.

Bonne annee...

AG.

Pour rebondir sur la remarque de bs, on a:

$\displaystyle{\frac{163}{\ln 163}}$ est environ égal à $\displaystyle{32-\frac{1}{163^{8/3}}}$.

Sylvain

N'oubliez pas que 163 est en plus de tout ça un "Lucky number".

Bonjour,

Je déterre ce vieux fil...ayant trouvé du nouveau.

Rappel du 3ème acte de mon message initial : Ramanujan avait conjecturé que $e^{\pi\sqrt{163}}$ était un nombre entier.

De fait , $e^{\pi\sqrt{163}}=262.537.412.640.768.744$ à $10^{-12}$près.

Nouveau: dans "Le fascinant nombre $\pi$", JP Delahaye écrit p46:
" Un début de réponse à ce mystère numérique est proposé dans le livre " The book of numbers" de J.Conway et R.Guy de 1996, pages 224 à 226".

Si l'un d'entre-vous...

Un gogol de mercis.

salut bs,
pour les nombres qui sont "presque" des entiers, vas voir sur cette page : <http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html>. Tu y retrouveras les tiens (tout en bas de la page)...