Dérivation des distributions

Bonjour,

J'ai un problème dans la dérivation des distributions.

Par exemple, j'ai la fonction $${f_n} = (n^2 x + n) 1_{[1/n,2/n]}$$

Dans mon cours, j'ai calculé la dérivée de $H_a=1_{[a,+\infty]} $ est $\delta_a$
Je pense donc que la dérivée de $ 1_{[1/n,2/n]}$ est $\delta_{1/n}-\delta_{2/n}$.

J'aurais donc dit que la dérivée de $f_n$ est $$n^2 1_{[1/n,2/n]} + n^2 x (\delta_{1/n}-\delta_{2/ n}) + n (\delta_{1/n}-\delta_{2/ n}) $$ mais apparement ce n'est pas ça.

Est ce que vous pouvez m'aider?

Merci

En pièce jointe, l'exercice que j'essaie de résoudre.5462

Réponses

  • en fait ta derivee de $1_{[1/n,2/n]}$ est bonne, mais n'oublie pas que $1_{[1/n,2/n]}=1-(1_{[-\infty,1/n]}+1_{[2/n,+\infty]})$ ce qui te donne en fait comme derivee $n^2.1_{[1/n,2/n]}+2.n.\delta_{1/n}}-\frac{3}{2}.n\delta_{2/n}$

    Il ne faut pas désespérer des imbéciles. Avec un peu d'entraînement, on peut arriver à en faire des militaires.
  • Bonjour à tous et à toutes,

    Les distributions servent-elles en probabilité et mathématiques financières ?

    Merci de votre réponse.
  • Merci de votre réponse!


    Mais je ne comprends pas comment vous calculez la dérivée.
    Pourqu'oi n'avez vous plus de terme en x ?
    Je pense que vous avez raison mais je ne comprends pas comment on fait

    et aussi je ne comprends pas pourquoi dans l'exercice que j'ai posté en pièce jointe, on n'a pas de $\delta^{'}$ puisqu'on redérive une seconde fois.

    Merci de votre aide!
  • Il y a un truc dangereux quand tu écris $x\delta_{1/n}$. Une écriture de ce genre risque d'amener des erreurs... Quel sens donnes tu à ce produit fonction régulière/distributions?
    (en fait, $x\delta_{1/n}=\frac{\delta}{n}$...)
  • en fait on ne fait que remplacer la valeur de x par 1/n et 2/n
    pour te clarifier les idees, pour une fonction continue par morceau, si on a un point de discontinuite en x avec d=f(x+)-f(x-), alors la derivee en x est d fois la masse de Dirac en x
  • Je ne comprends pas vraiment.
    Est-ce que vous pouvez m'expliquer comment on fait pour obtenir la dérivée seconde de f de l'exercice ?
    Merci !
  • vu de loin, f est une fonction continue de derivee continue par morceaux (on verifie qu'elle est continue en 0, 1/n, 2/n, 3/n et 4/n) d'ailleurs ca irait peut etre mieux avec $(2n-\frac{n^2}{2}x).1_{[3/n,4/n]}$

    auquel cas la derivee serait $\frac{n^2}{2}.(1_{[0,1/n]}-1_{[1/n,2/n]}+1_{[2/n,3/n]}-1_{[3/n,4/n]})$, ce qui donne la derivee seconde souhaitee

    Il ne faut pas désespérer des imbéciles. Avec un peu d'entraînement, on peut arriver à en faire des militaires. (Desproges)
  • Je ne comprends rien.

    Que donne la dérivée de $\frac{n$2}{2} x 1_{[0,\frac{1}{n}$?
  • Je ne comprends rien.

    Que donne la dérivée de $\frac{n^2}{2} \times 1_{[0,\frac{1}{n}]}$ ?
  • Cette dérivée est $\frac{n^2}{2}(\delta_0-\delta_{1/n})$.
    Intuitivement, ça se retient comme "une formule de saut". En $0$ on saute de $n^2/2$ donc ça donne un dirac pondéré par $n^2/2$, en $1/n$ on tombe de $n^2/2$, donc dirac pondéré par $-n^2/2$.
    Pas intuitivement, cette fonction est égale à $H_{0}-H_{1/n}$, et d'après le cours, $(H_a)'=\delta_a$. La linéarité de la dérivation redonne le résultat.
  • Mais alors pourquoi quand on dérive une seconde fois on n'obtient pas de $\delta'$ ?
  • d'apres ton exercice, on devrait, mais comme ce n'est pas le cas, je me permets de supposer qu'il y a une erreur dans l'enonce
    dans le cas d'une fonction continue en un point, ca revient a faire un saut dans un sens, puis un autre pour revenir au point de depart, et donc les 2 "sauts" se compensent
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