Pourquoi peut-il y avoir plusieurs démonstrations?
Salut à tous,
J'étais en train de recenser toutes les démonstrations de $S_1 = \frac{n(n+1)}{2}$
et puis un questionnement m'est venu :
Pourquoi peut-il y avoir plusieurs démonstrations d'un même résultat?
A priori, on pourrait se dire qu'il existe une unique démonstration qui révèlerait le résultat dans sa nature onthologique et que les autres retrouvent en fait ce même résultat en passant par des raccourcis ou au contraire des détours qui intrinsèquement reviennent à la démo dite "onthologique".
Mon prof de SPE nous disait que les maths construisaient des outils adaptés au problème pour le "réduire" à son essence même et le résoudre.
Mais me diriez vous, quel rapport existe-il entre :
$2S_1 =\sum_{i=0}^{n}k+\sum_{i=0}^{n}(n-k)=\sum_{i=0}^{n}n=\frac{n(n+1)}{2}$
et
$\lim_{x\rightarrow1} \frac{d}{dx}(\frac{1-x^{n+1}}{1-x})=\frac{n(n+1)}{2}$
Voilà pour la pensée du soir,
Jérôme
J'étais en train de recenser toutes les démonstrations de $S_1 = \frac{n(n+1)}{2}$
et puis un questionnement m'est venu :
Pourquoi peut-il y avoir plusieurs démonstrations d'un même résultat?
A priori, on pourrait se dire qu'il existe une unique démonstration qui révèlerait le résultat dans sa nature onthologique et que les autres retrouvent en fait ce même résultat en passant par des raccourcis ou au contraire des détours qui intrinsèquement reviennent à la démo dite "onthologique".
Mon prof de SPE nous disait que les maths construisaient des outils adaptés au problème pour le "réduire" à son essence même et le résoudre.
Mais me diriez vous, quel rapport existe-il entre :
$2S_1 =\sum_{i=0}^{n}k+\sum_{i=0}^{n}(n-k)=\sum_{i=0}^{n}n=\frac{n(n+1)}{2}$
et
$\lim_{x\rightarrow1} \frac{d}{dx}(\frac{1-x^{n+1}}{1-x})=\frac{n(n+1)}{2}$
Voilà pour la pensée du soir,
Jérôme
Réponses
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Heu...
Vous avez bien sûr vu la bourde : y a un /2 en trop à un endroit...
Jéjé -
ça veut dire quoi "onthologique" ??
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On écrit "ontologique" et ça signifie quelque chose comme "relatif à l'existence même, à l'essence". Bref c'est de la métaphysique.
Je trouve cette question très intéressante mais je ne pense pas qu'on puisse y répondre. -
L'espace des démonstrations d'un résultat donné est-il connexe, simplement connexe ? A-t-il le type d'homotopie d'un CW-complexe ?
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La question est en effet très interessante. En prenant plus de recul elle amène également à s'interroger sur les liens entre les differentes branches des mathématiques alors qu'a priori certains thèmes que l'on pensait autonomes nous revelent des liens surprenants. C'est vraiment une des plus grandes beautés mathématiques je trouve.
Si une démonstrastion etait l'essence même de la source d'un résultat, cela impliquerait que les autres connues pour ce même résultat seraient redondantes à la première. Or ce n'est pas le cas. Selon l'angle d'approche choisi, la démonstration peut éventuellement être construite "de zéro" et mener au résultat... il suffit de penser au nombre pi pour s'en convaincre... -
bonjour
même sans parler d'onthologie, on peut répondre à ta question:
oui il existe souvent en math plusieurs démonstrations à un théorème ce qui fait la richesse intellectuelle de notre discipline;
l'exemple que tu donnes est simple et significatif: le résultat de S1 est obtenu par une méthode algébrique et une méthode analytique
en géométrie l'arsenal aux mains du mathématicien est impressionnant: pour démontrer une propriété géométrique il pourra utiliser les transformations, ou bien les vecteurs, ou bien la géométrie analytique ou encore les nombres complexes;
existe-t-il une méthode idéale, idoine? souvent oui et elle passe à la postérité; mais le matheux d'instinct essaiera d'en trouver d'autres avec d'autres concepts (par exemple les démonstrations du théorème de Pythagore)
cordialement -
bonjour,
la faute étant recopiée plusieurs fois, puis je vous faire remarquer qu'on parle de preuve ontologique ( sans h donc..)?
l'exemple le plus celebre est certainement la "preuve ontologique" de l'existence de Dieu , due à saint Anselme, (qui bien sur n'a jamais convaincu personne) et que je ne résumerai pas ici (les curieux n'auront pas de mal de la trouver via google ou l'encyclopedia universalis ou tout simplement le petit larousse illustré !)
et je profite de l'occasion pour vous souhaiter un bon passage en 2007,
année qui nous promet bien des péripéties!
Oump. -
Bonjour jéjé.
Je te retourne la question : Pourquoi ne devrait-il pas y avoir plusieurs démonstrations ?
J'ai l'impression que ton prof de Spé t'a raconté des bétises. Il donnait aux maths une importance bien plus grande qu'elles n'en ont. Dire "les maths construisaient des outils adaptés au problème pour le "réduire" à son essence même et le résoudre" me semble plutôt outrecuidant, quand on connaît la difficulté à traiter des questions mathématiques simples (trouver un nombre dont le carré est 2, résoudre algébriquement toutes les équations de degré supérieur à deux, traiter du problème dit "des trois corps" de façon exacte, etc.), et les efforts des mathématiciens pour aller "au delà". Sans parler des mathématisations totalement différentes de certaines parties de la physique.
Pour t'aider à voir un peu plus loin, je te conseille les oeuvres philosophiques de Poincarré (conventionnalisme), un tour chez Feyerabend pour dédramatiser l'épistémologie, un passage chez Lakatos (preuves et réfutations) pour dégonfler les chevilles mathématiques, et peut-être la lecture du dernier ouvrage de Laughlin : "Un univers différent".
Bonne lecture ! -
> Olivier B. ; je connaissais le sens du mot, merci. Je voulais simplement souligner que, lorsqu'on s'attaque à des concepts philosophiques bien identifiés, il est recommandé de les écrire correctement...
> Gerard : j'ajoute à ta liste celui qui, à mon avis, aurait dû y être cité en premier : Jean Cavaillès (d'une lecture difficile, il est vrai, mais, enfin, si on veut faire de la philosophie, il faut d'abord en passer par l'étude des grands auteurs). -
Même si mon prof de SPE avait les chevilles qui enflent, même si j'ai eu l'outrecuidance d'essayer d'utiliser un concept philosophique mal orthographié, la question reste ouverte.
J'ai l'impression qu'on peut quand même énoncer les propositions suivantes :
1/ Si plusieurs démonstrations, qui ne se ramènent pas en substance à une unique démonstration dite "ontologique", existent , cela voudrait dire qu'il existe une vérité "métamathématique" qui dépasse les mathématiques elles-même (Si cette vérité n'existait pas, on ne retrouverait pas alors les mêmes résultats). Ceci tendrait à relativiser lourdement la portée des mathématiques et les reléguer à un instrument, certes intelligent, beau et rigoureux, mais qui s'occuperait du "phénoménal", à l'instar de la physique... (J'y vais un peu fort, mais je le fais exprès ;-) )
2/ Si la démonstration "ontologique" existe, on peut simplement remarquer que sa recherche n'est pas la préoccupation des mathématiciens (du moins à mon petit niveau), en tout cas, cela pourrait peut-être relancer le questionnement soulevé par Okay à savoir les liens existants parmi les différentes branches des mathématiques et arriver à avoir une vision bien plus synthétique des maths.
Voilà donc des pensées qui ne sont en rien des vérités outrecuidantes. ;-)
J'attends vos remarques et vos critiques.
Sinon, puisqu'on est dans les références d'auteurs: Je vous conseille pour ma part une vision métaphysique avec Réné Guénon, "les principes du calcul infinitésimal", qui change un peu de nos chers philosophes rationalistes du merveilleux siècle des lumières.
Par ailleurs, je me suis penché sur la définition même de la notion de limite, je suis arrivé à la conclusion que tout repose sur la preuve suivante :
$$Soit x \in \R / \forall \epsilon >0, |x| -
en fait pour la notion de limite, c'est un peu plus tordu que ca (la limite est une notion topologique, et la t'utilises deja une norme)
pour une topologie, on utlise le fait que si pour tout ouvert O contenant y, O contient aussi x, alors x et y ne sont pas separes
si de plus la topologie est separante, on a donc x=y
par contre je suis un grand fan des raisonnements par l'absurde
ca veut simplement dire que de toute facon, il ne peut pas en etre autrement -
Jéjé,
Avec ton "onthologie" et ton René Guénon, c'est de la métaphysique à l'arme lourde mystique que tu nous fais... -
On peut voir une démonstration comme un "chemin" reliant des points qui sont ici des propositions. Il n'y a donc rien d'étonnant à ce qu'existent plusieurs démonstrations d'un même résultat. C'est du moins mon humble avis sur la question.
-
Je vois pas où est l'absurde, c'est une simple contraposée non ? Si x est différent de 0, sa norme est strictement positive (par définition), et il suffit de poser epsilon=|x|/2.
Je dis des conneries ? -
> Guimauve, non, ce n'est pas toi qui dit des conneries...
> Sylvain : "un "chemin" reliant des points ...", jolie métaphore de physicien qui a visiblement tâté de l'intégrale de Feynman... !
(tu auras compris que c'est plutôt un compliment, car je tiens ce Monsieur Feynman pour l'un des plus grands génies du XXème siécle, et je crois qu'on est loin d'avoir exploré toutes les potentialités de cette intégrale..). -
Non mon cher Aleg, je n'ai pas vraiment tâté de l'intégrale de Feynman, mais cette idée de "chemin" me semble naturelle.
-
Bonjour, et bonne année 2007.
Jéjé : Le mot outrecuidance ne s'adressait pas à toi. D'ailleurs, le mot ne peut pas s'appliquer à un questionnement (A une réponse "définitive" si, et même souvent.
Tu dis << Si plusieurs démonstrations, qui ne se ramènent pas en substance à une unique démonstration dite "ontologique", existent , cela voudrait dire qu'il existe une vérité "métamathématique" qui dépasse les mathématiques elles-même >>.
Je ne te suivrai pas sur ce terrain, car tu emploies des mots dont je ne sais pas le sens (le tien) : existe, vérité, métamathématique (mot valise très pratique quand on n'a pas bien défini ce qu'on veut dire), dépasse. D'ailleurs, je ne vois pas le problème que tu as. Pour moi, le fait qu'il y ait plusieurs démonstrations n'est que la manifestation de la cohérence des maths (ce qui me semble être même la caractéristique des maths : quel que soit le moyen si on applique les règles, le résultat est le même). Faut-il donner un statut épistémologique aux calculs :" 2 + 2 = 2 + (1+1) = (2+1) + 1 = 3+ 1 = 4" et "2 + 2 = (1+1) + 2 = 1 + (1+2) = 1 + (2+1) = 1 + 3 = 3 + 1 = 4" ?
Aleg : Effectivement, il y a Cavaillès, Desanti, Gonseth, etc. Je n'avais cité que des "classiques" plus faciles à lire (Lakatos, entre autres, pour un matheux). Autre chose : la notion de chemin est utilisée depuis des siècles dans la mécanique de la moindre action. Feynmann en a fait un usage très intéressant, mais encore mal maîtrisé conceptuellement.
Cordialement
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