Calcul diff - exo du Cartan

Salut tout le monde et joyeuses fêtes,


J'ai emprunté le fameux {\it Calcul différentiel} de Cartan et je me suis lancé dans les exos, qui sont intéressants, sans être trop durs. J'ai un petit problème avec celui-ci, un des premiers : on se donne un intervalle compact $[a,b] \subset \R$, l'espace de Banach $E=C([a,b])$ muni de la norme de la convergence uniforme, une fonction $\varphi$ de classe $C^2$ sur $\R$, et on définit l'application de $E$ dans $\R$ qui à $f$ associe $\displaystyle \int_a^b \phi(f(x)) \, dx$. Il s'agit de démontrer qu'elle est différentiable, ça c'est OK, et l'exo finit par un énigmatique "est-elle toujours de classe $C^1$ ?" C'est le genre de question qui laisse entendre que la réponse est non, seulement voilà moi je trouve que oui, c'est normal docteur ?

Réponses

  • bonjour Egoroff, je vais déjà essayer de déterrer mon Cartan, le pauvre.

    Bon si j'ai bien vu , la différentielle est:
    $f \longrightarrow D(f): h \longrightarrow \int_{a}^{b} \Phi '(f(t)h(t)dt$

    qui est cetainement continue suivant $f$
  • Salut gilles, merci pour ta réponse. D'accord avec la différentielle. Pour que le reste soit un petit $o(h)$ j'ai besoin de la continuité de $\varphi''$ et c'est la même continuité de $\varphi''$ qui me fait penser que la différentielle est continue suivant $f$, mais bon...
  • rebonsoir, j'ai écrit la formule de Taylor avec reste intégral pour $\Phi$:

    $\Phi(f+h) = \Phi(u) + h \Phi '(f) + \int_{0}^{h} \Phi^{(2)}(t) (h - t) dt$


    On intègre entre $a$ et $b$:

    $\int_{a}^{b} \Phi (f(x) + h(x)) dx = \int_{a}^{b} \Phi (f(x)) dx

    + \int_{a}^{b} \Phi ^{(1)}(f(x))h(x) dx + \int_{a}^{b} \{ \int_{0}^{h(x)} \Phi ^{(2)}(t) (h(x) - t) dt \} dx$

    Il reste à majorer le terme complémentaire en utilisant le caractère $C^2$
    de $\Phi$ et donc le fait que $\Phi ^{(2)}$ est bornée sur $[a; b]$.

    Et en fait, il aurait été plus direct d'utiliser directement l'inégalité de
    Taylor-Lagrange...
  • Pareil, j'ai fait avec Taylor-reste intégral, c'est la seule dont j'arrive à me souvenir :-)

    Pour la continuité de la différentielle, notée $D$, j'appelle $K$ le max de $|\varphi''(t)|$ pour $|t| \leq ||f||+1$, alors pour toute $g$ telle que $||g-f|| \leq 1$ on a $|\varphi'(g(x))-\varphi'(f(x))| = \left\lvert \int_{f(x)}^{g(x)} \varphi''(t) \, dt \right\rvert \leq K |g(x)-f(x)| \leq K ||g-f||$, et pour tout $h \in E$ : $|(D(g)-D(f))(h)|=\left\lvert \int_a^b h(x)(\varphi'(g(x))-\varphi'(f(x))) \, dx \right\rvert \leq K ||g-f|| (b-a) ||h||$, d'où $||| D(g)-D(f) ||| \leq K ||g-f|| (b-a)$, et donc $D$ est carrément localement lipschitzienne.
  • Je rebondis sur ton message : dans le reste intégral ce devrait être $\int_0^{h(x)} (h(x)-t) \varphi''(f(x)+t) \, dt$, tu avais oublié le $f(x)$ je crois ; il ne suffit pas que $\varphi''$ soit continue sur $[a,b]$ mais bien sur un $f([a,b])+h([a,b])$ qui est compact oui mais la majoration n'est pas uniforme en $f$ et $h$ a priori. Là encore le plus sûr est de définir $M=\sup \{ \varphi''(f(x)+t), \, x \in [a,b], \, |t| \leq 1 \}$ et de majorer la reste intégral, pour $||h|| \leq 1$, par $M(b-a)||h||^2=o(h)$.
  • effectivement, il manque un terme dans mon reste intégral; en fait, il manquait
    f(...) + t ; entre les deux formes du reste, il m'arrive de me mélanger ; ceci dit
    je ne trouve rien à redire à ta conclusion.
    A mon sens, cet exercice est un excellent tremplin pour développer un problème plus important.
  • Bonjour,
    De fait , j'ai ressorti aussi le Cartan !
    Après avoir noté votre corrigé de l'exercice 4 p103 , je me suis aperçu que j'avais commencé, il y a quelque temps, l'exercice 31 sans pouvoir aller au bout.

    1)Enoncé: Le point $M(x,y,z)$ décrit la surface d'équation:
    $(x^4/a^4)+(y^4/b^4)+(z^4/c^4)=1$,
    trouver les extrema de la fonction $f(M)=x^2+y^2+z^2$.
    On trouvera 14 points.
    Montrer que les points situés sur les axes de coordonnées réalisent des minima et que les huit autres réalisent des maxima ( on pourra paramétrer la surface au voisinage de chaque point en fonction de deux coordonnées seulement et se ramener localement à une fonction de deux variables );

    2)ce que j'ai fait:

    Il s'agit d'un problème d'extrema liés.
    Soit g(M)=$(x^4/a^4)+(y^4/b^4)+(z^4/c^4)-1$,
    $E=\{M, g(M)=0 \}$
    théorème des extrema liés: pour tout N dans E
    $\exists \mu \in \R : df(N)= \mu dg(N)$
    Avec $N(X,Y,Z)$, on obtient pour chaque coordonnée:
    $2.X= \mu(4X^3/a^4)$ $X[1-(2 \mu X^2/a^4)]=Y[1-(...)]=Z[...]$
    d'où $\mu > 0$
    Ainsi chaque coordonnée de N doit vérifier: $X=0$ ou $X^2=a^4/2.\mu$
    En sommant , j'obtiens $4.\mu^2=a^4+b^4+c^4$,et, $\mu=[\sqrt{a^4+b^4+c^4}]/2$
    puis, $f(N)= \sqrt{a^4+b^4+c^4}$
    Les coordonnées des extrema vérifient donc : $X=0$ ,ou $X=a^4/\sqrt{a^4+b^4+c^4}$, idem pour $Y,Z$.
    J'ignore si c'est juste , et comment retrouver 14 points avec ceci ?
    C'est long.
    Merci
  • Bonjour Bs,

    En travaillant avec les multiplicateurs de Lagrange :

    Dans le cas où $ x\neq0, y\neq0,z \neq0$ j'ai trouvé 8 points critiques
    puis dans le cas où une seule variable est nulle j'ai trouvé 12 points critiques
    et enfin dans le cas où deux variables exactement sont nulles j'ai trouvé 6 points critiques


    Mais il me semble que dans son livre Cartan ne développe aucune approche pour traiter des extrema liés...
    et moi non plus je ne trouve pas 14 points critiques
    sans doute je me trompe ...


    Sincèremlent,

    Galax
  • Avec ce livre, Cartan fit un carton.


    [Et Descartes, qu'en eut-il fait ? :) AD]
  • Bonjour, amis de Cartan,

    Les points critiques ont pour coordonnées ( je n'écris que X ):
    $X=0$, ou $X=a^2/\sqrt{a^4+b^4+c^4}$, ou $X= - a^2/\sqrt{a^4+b^4+c^4}$.
    donc effectivement $2^3=8$ points critiques à coordonnées non nulles.
    Puis, merci Galax, ton compte est bon aussi pour 12=3x4, et 6=3x2.

    Pour arriver aux 14 points critiques de Cartan, 14=8+6, donc les points ayant une seule coordonnée non nulle ne seraient pas critiques.
    A priori, je fais confiance à Cartan.

    Alain, dans mon message de 10h14, 4ème ligne avant la fin ,lire:$X=+/-a^2/\sqrt{a^4+b^4+c^4}$; si tu avais la délicatesse de corriger : merci beaucoup .

    Amicalement.
  • $ X=\pm a^2/\sqrt{a^4+b^4+c^4}$

    [le $\pm$ en $\LaTeX$ s'écrit pm . AD]
  • pour bs> il faut remplacer dans les solutions données:
    $ \displaystyle X=\pm a^2/\sqrt{a^4+b^4+c^4}$
    par:

    $ X= \displaystyle \pm \frac{a^2}{{(a^4+b^4+c^4) }^{\frac{1}{4}}}$

    Et effectivement Cartan ne propose pas les multiplicateurs de Lagrange dans son livre; il faut peut-être chercher autre chose.

    pour AD> c'est effectivement plus joli avec " displaystyle" merci.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • @gilles benson : sinon tu peux écrire tes formules entre deux dollars au lieu d'un seul. Effet : formules centrées et écrites en "displaystyle" automatiquement.

    Exemple :
    $$X=\pm \frac{a^2}{{(a^4+b^4+c^4) }^{\frac{1}{4}}}$$

    a+
  • Merci Gilles pour cette correction.
    <BR>
    <BR>Question : Est-il possible en Latex de mettre un 4 en haut du signe racine plutôt que d'écrire puissance 1/4 ? merci.
    <BR>a+
    <BR>
    <BR>[Comme ceci : <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="152" HEIGHT="56" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/12/30/105867/cv/img1.png&quot; ALT="$ \displaystyle X=\pm \frac{a^2}{\sqrt[4]{a^4+b^4+c^4}}$"></SPAN>     $X=\pm \frac{a^2}{\sqrt[4]{a^4+b^4+c^4}}$. AD]<BR>
  • Merci Gilles pour cette correction.

    Question : Est-il possible en Latex de mettre un 4 en haut du signe racine plutôt que d'écrire puissance 1/4 ? merci.
    a+

    [Comme ceci : $\displaystyle X=\pm \frac{a^2}{\sqrt[4]{a^4+b^4+c^4}}$ AD]
  • bs, comme ça :
    $$\sqrt[4]{x}$$

    (voir dans "code Latex").
  • Merci pour ces mises au point, j'ai récemment trouvé ce vieux livre a moins de 10 euros (!!) en tres bon état sur internet et je le feuillette aussi quand jen ai le temps!
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