primitive d'une fonction continue

Bonsoir,

Je recherche une démonstration du théorème suivant (ou quelques pistes) :
Toute fonction continue sur I admet au moins une primitive sur I.

Merci d'avance.
Bonne soirée

Réponses

  • Tout dépend des outils que tu te donnes pour le faire.

    Le plus classique est de considérer l'application $F(x) = \in_a^x f(t)\,dt$ pour $a$ dans $I$.

    Sur un compact, tu peux approcher uniformément $f$ par des fonctions affines par morceaux, puis construire une suite de fonctions du second degré par morceaux qui vont converger vers une primitive de $f$
  • Tout dépend des outils que tu te donnes pour le faire.

    Le plus classique est de considérer l'application $ F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrmdt$ pour $ a \in I$.

    Sur un compact, tu peux approcher uniformément $ f$ par des fonctions affines par morceaux, puis construire une suite de fonctions du second degré par morceaux qui vont converger vers une primitive de $ f$
  • Dans tous les cas, les démonstrations sont difficiles.

    Une première façon de faire consiste à construire une intégrale à partir de f. En faisant varier une borne on montre alors que la fonction est une primitive de f.

    Voici une autre démonstration (juste les pistes) qui ne fait pas appel aux intégrales.


    On note f la fonction continue sur I.

    I étant un intervalle, on peut considérer un sous intervalle J qui soit fermé et borné.

    Sur J, f est continue. On montre qu'elle est limite uniforme de fonctions polynômes (th de Bernstein).

    Ensuite, il est clair que tout polynôme admet une primitive... On montre alors en choisissant bien des primitives des polynômes qui convergent uniformément vers f, qu'ils convergent aussi uniformément vers une fonction notée F. On montre que cette fonction F est dérivable et de dérivée égale à f.
  • Bonsoir, la vérité oblige à dire que pour construire l'intégrale (de Riemann) d'une fonction continue, il faut passer soit par la continuité uniforme (théorème de Heine) soit employer la convergence uniforme et tout cela est hors de portée des élèves de terminale (si jamais c'était la finalité de cette interrogation)
  • Tout à fait d'accord avec Gilles. Le plus élégant consiste à utiliser l'intégrale, dont la définition et les propriétés sont difficiles.

    Il me semble inadapté dans le secondaire de définir l'intégrale comme étant la différence entre deux valeurs prises par une primitive... car après, comment montrer qu'une fonction continue admet des primitives ???
    Le second degré fait faire un raisonnement à l'envers.

    Le bon raisonnement consiste à définir l'intégrale avec les bons outils (ce qui se ramène à des problèmes de convergence), puis à démontrer que l'intégrale est égale à la différence entre deux valeurs prises par une primitive.
  • "Il me semble inadapté dans le secondaire de ***définir*** l'intégrale comme étant la différence entre deux valeurs prises par une primitive... car après, comment montrer qu'une fonction continue admet des primitives ???"

    On l'admet.

    De toute façon définir ce qu'est une intégrale dans le secondaire d'une autre manière que par la notion de primitive n'est que pure folie.
  • l'idéal , en term, pour construire l'integrale d'une fonction continue monotone est d'utiliser les sommes de Darboix et les suites adjacentes.
    Ensuite on admet le th que toute fonction continue sur un segment est intégrable .D'autre part, ce que demande Boonie n'est pas la construction de l'intégrale mais l'existence de primitive

    th toute fonction continue admet au moins une primitive



    preuve du théorème

    soit $f$ une fonction continue sur $I=[a,b]$ on pose $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$ on montre que $F$ est dérivable soit $ h$ trés petit
    $|F(x+h)-F(x)|=|\int_{x+h}^{x}f(t) dt|$ d'où $|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}|=\frac{\int_{x}^{x+h}f(t)dt}{h}|$
    or d'aprés la formule de la moyenne il existe $c_{x}\in [x,x+h]$ tel que $f(c_{x})=frac{\int_{x}^{x+h}f(t)dt}{h}$ et comme $f$ est continue en faisant tendre $^$^vers 0 $c_{x}$ tend vers $x$ donc $F'(x)=f(x)$ là on à montré que $F$ est dérivable et que c'est aussi une primitive de $f$ .

    geoffrey
  • l'idéal , en term, pour construire l'integrale d'une fonction continue monotone est d'utiliser les sommes de Darboix et les suites adjacentes.
    Ensuite on admet le th que toute fonction continue sur un segment est intégrable .D'autre part, ce que demande Boonie n'est pas la construction de l'intégrale mais l'existence de primitive

    th toute fonction continue admet au moins une primitive


    preuve du théorème

    soit $f$ une fonction continue sur $I=[a,b]$ on pose $F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$ on montre que $F$ est dérivable soit $ h$ trés petit
    $|F(x+h)-F(x)|=|\int_{x}^{x+h}f(t) dt|$ d'où $|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}|=\frac{\int_{x}^{x+h}f(t)dt}{h}|$
    or d'aprés la formule de la moyenne il existe $c_{x}\in [x,x+h]$ tel que $f(c_{x})=\frac{\int_{x}^{x+h}f(t)dt}{h}$ et comme $f$ est continue en faisant tendre $^$vers 0 $c_{x}$ tend vers $x$ donc $F'(x)=f(x)$ là on à montré que $F$ est dérivable et que c'est aussi une primitive de $f$ .

    je le renvois avec les coquilles en moins merci

    geoffrey
  • Penses-tu vraiment que ce soit idéal ?
  • merci à tous pour vos réponses!!

    le problème c'est que je définis l'intégrale bien après la primitive...
    en fait,j'appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que pour tout x de I F'(x)=f(x)
    et seulement après j'énonce le théorème d'existence:toute fonction continue sur I admet au moins une primitive sur I.
  • ou alors je dois admettre la démonstration à ce stade de la leçon et je ne peux la démontrer que lorsque j'ai défini l'intégrale,et ce,comme a fait géo??
  • bonsoir Boonie,
    on peut parfaitement démontrer l'existence de primitives d'une fct continue avant d'avoir défini la notion d'intégrale, mais il faut ruser avec les sommes de Riemann (et c'est donc un peu tordu..). Je crois me souvenir que cela avait fait l'objet d'un article dans la RMS il y a une dizaine d'années peut-être.
  • d'accord.merci Aleg et les autres.

    Joyeux Noël!!
  • d'accord.merci Aleg et les autres.

    Joyeux Noël!!
  • et toi Philippe qu'en penses tu?

    Boonie pour la leçon de capes je me place au niveau post bac je construit l'intégrale avec des sommes de Darboux (intégrale de Rieman)il y a deux grande preuve celle conceant les fonctions monotones et celle conçernant
    les fonctions continues...
    si tu veux plus d'infos sur cette leçon mail moi
  • et toi Philippe qu'en penses tu?

    Boonie pour la leçon de capes je me place au niveau post bac je construit l'intégrale avec des sommes de Darboux (intégrale de Rieman)il y a deux grande preuve celle conceant les fonctions monotones et celle conçernant
    les fonctions continues...
    si tu veux plus d'infos sur cette leçon mail moi
  • Salut Geoffrey!!
    je te remercie!!

    en fait,j'ai déjà préparé cette leçon et je l'ai même présentée à l'IUFM (et ça convenait à notre formatrice). je m'étais plaçée au niveau Terminale. donc ce théorème est admis.
    mais je tiens tout de même à connaître cette démo.

    merci
  • Je t'envois ça dès que je peux, au fait tu n'es du pas de Calais ? Moi aussi
  • Merci beaucoup Geoffrey!! je comptais justement t'envoyer un email.
    c'est très sympa!! ce n'est pas urgent! je te remercie!;-)
    je suis du Nord,j'étudie à Valenciennes.et toi?
    Bonne soirée
  • Moi je suis originaire du Nord (Berck) j'ai fait mes études à Rennes dont deux années d'iufm et ayant encore raté le capes je suis revenu en septembre dans le pas de Calais.
  • Serait-il possible de me l'envoyer aussi (ou de la poster ?) cette leçon qui utilise les sommes de Darboux, je suis passé moi aussi sur cette leçon mais je m'étais placé tout comme Boonie au niveau terminale et cela convenait, mais il peut être intérressant de voir cette leçon sous un niveau post-bac...
    Merci d'avance
    Amicalement micke
  • En fait plutôt que de la taper (j'ai pas le temps et je suis malade) je vais vous donner mon cours de deug en poly concernant l'intégrale de Rieman comme ça tout y est
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