théorème des fonctions implicites

Le Gourou
Le Gourou
dans Analyse
Hola !

On considère le système $$x^2+y^2+z^2=1$$ $$(x-\frac{1}{2})^2+y^1=\frac{1}{4}$$

Je dois montrer qu'au voisinage de $(0,0,1)$ on peut résoudre ce système à l'aide d'une fonction implicite à préciser.

Donc j'ai considéré l'application de $\R^3$ dans $\R^2$ définie par $$f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2-1,(x-\frac{1}{2})^2+y^1=\frac{1}{4})$$

Mais le problème, c'est que la matrice jacobienne de $f$ en $(0,0,1)$ ne contient aucune sous-matrice inversible $2\times 2$

Réponses

  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour

    On peut résoudre en fonction de x
    La matrice jacobienne est bien de rang 2

    Cordialement
  • naos
    naos
    Bonjour,

    Ce n'est pas mon exo, mais j'essaie quand même de le faire. Je trouve pour jacobienne :

    $$ \left( \begin{array}{ccc}
    2x & 2y & 2z \\
    2x-1 & 1 & 0
    \end{array} \right)$$

    Trois matrices 2x2 possibles. Je prend, par exemple (est-ce que le fait d'en prendre une au hasard a une incidence sur les solutions ?) la matrice 2x2 constituée de la seconde et troisième colonne. Elle a pour déterminant -2z, z étant dans le voisinage de 1 elle est inversible.
    Qu'en déduit-on ? Je calcule l'inverse mais je ne vois pas bien ce que ca me donne.

    A la main, je trouve comme solutions que y = -x, z = 1 et x proche de 0... Ca me paraît louche.

    Pouvez vous m'aider à comprendre ?

    Merci

    Cordialement
  • Le Gourou
    Le Gourou
    Désolé la seconde équaation est $$(x-\frac{1}{2})^2+y^2=\frac{1}{4}$$
  • Le Gourou
    Le Gourou
    Est-ce que je peux prendre la matrice formée de la première et de la dernière colonne ???
  • Sisbai
    Sisbai
    Salut

    Après des calculs très laborieux je trouve :

    $$f(\phi_1(y),y,\phi_1(y))=(0;0)$$
    avec
    $$\phi_1(y)=\frac{1-\sqrt{1-4y^2}}{2}$$
    et
    $$\phi_2(y)=\sqrt{1-\phi_1(y)}$$

    Je me suis lancé sur ton problème un peu par défi personnel !
    Donc il est possible que j'écrive des horreurs !

    a+
  • Le Gourou
    Le Gourou
    En tout cas merci d'avoir pris la peine de jeter un oeil dessus :)


    Est-ce que je peux prendre la matrice formée de la première et de la dernière colonne ???

    Et est-ce que la résolution dépend du choix de la matrice ? Je pense vraiment que oui !

    Qu'en pensez-vous ?

    Merci
  • Sisbai
    Sisbai
    { \it En tout cas merci d'avoir pris la peine de jeter un oeil dessus :)}
    De rien !


    { \it Est-ce que je peux prendre la matrice formée de la première et de la dernière colonne ???}
    Oui. Au pire tu poses $g(x,y,z)=f(y,x,z)$ si tu veux retrouver (peut-être) les conditions d'un théorème.

    { \it Et est-ce que la résolution dépend du choix de la matrice ? Je pense vraiment que oui !}
    Je ne suis pas spécialiste (loin de là !) mais aucun théorème ne parle d'unicité. Je pense donc comme toi : oui.
    Mais ici a-t-on vraiment le choix ?

    Je peux taper ce que j'ai fait.
    Es-tu intéressé ou prefères-tu chercher ?
  • Le Gourou
    Le Gourou
    Je suis intéressé, étant donné que ça fait pas mal de temps que je cherche et que je commence à saturer !

    Donc merci !
  • Sisbai
    Sisbai
    On a :
    $$\frac{D(f1,f2)}{D(x,z)}(0,0,1)=1$$
    Le corollaire 5 p 319 du Gourdon assure donc l'existence de :
    - un voisinage ouvert $U\subset \R$ de $0$
    - un voisinage ouvert $\Omega \subset \R^2$
    - une application $\phi: U\to \Omega$ de classe $C^1$ vérifiant $f(\phi_1(y),y,\phi_2(y))=(0;0)$

    En dérivant les applications coordonnées on obtient d'une part:

    $$f_1'(y)=\phi_1'\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_1}{\partial y}+\phi_2'\frac{\partial f_1}{\partial z}$$
    d'où
    $$2\phi_1'\phi_1+2y+\phi_2'\phi_2=0$$
    et d'autre part
    $$f_2'(y)=\phi_1'\frac{\partial f_2}{\partial x}+\frac{\partial f_2}{\partial y}+\phi_2'\frac{\partial f_2}{\partial z}$$
    d'où
    $$\phi_1'(2\phi_1-1)+2y=0$$

    On a donc le système :
    $$\left\{\begin{array}{l}
    \phi_1' \phi_1+ \phi_2' \phi_2+y=0\\
    2\phi_1' \phi_1- \phi_1' +2y=0
    \end{array}\right.$$

    Reste à intégrer (on commence évidemment par la 2ème) en tenant compte du fait que $\phi_1(0)=0$ et $\phi_2(0)=1$.

    a+, en espèrant ne pas avoir dit des énormités...
  • Sisbai
    Sisbai
    rectifications :

    On a :
    $$\frac{D(f_1,f_2)}{D(x,z)}(0,0,1)=1$$
    Le corollaire 5 p 319 du Gourdon assure donc l'existence de :
    - un voisinage ouvert $U\subset \R$ de $0$
    - un voisinage ouvert $\Omega \subset \R^2$
    - une application $\phi: U\to \Omega$ de classe $C^1$ vérifiant $f(\phi_1(y),y,\phi_2(y))=(0;0)$

    En dérivant les applications coordonnées on obtient d'une part:

    $$f_1'(y)=\phi_1'\frac{\partial f_1}{\partial x}+\frac{\partial f_1}{\partial y}+\phi_2'\frac{\partial f_1}{\partial z}$$
    d'où
    $$2\phi_1'\phi_1+2y+2\phi_2'\phi_2=0$$
    et d'autre part
    $$f_2'(y)=\phi_1'\frac{\partial f_2}{\partial x}+\frac{\partial f_2}{\partial y}+\phi_2'\frac{\partial f_2}{\partial z}$$
    d'où
    $$\phi_1'(2\phi_1-1)+2y=0$$

    On a donc le système :
    $$\left\{\begin{array}{l}
    \phi_1' \phi_1+ \phi_2' \phi_2+y=0\\
    2\phi_1' \phi_1- \phi_1' +2y=0
    \end{array}\right.$$

    Reste à intégrer (on commence évidemment par la 2ème) et tenant compte du fait que $\phi_1(0)=0$ et $\phi_2(0)=1$.

    a+, en espèrant ne pas avoir dit des énormités...
  • Le Gourou
    Le Gourou
    Merci beaucoup !!

    Effectivement ce corollaire est très utile !!

    Je te souhaite de très bonnes fêtes de fin d'année ;)
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