Rectangle inscrit dans S^1

Bonjour,

Ecrire et démontrer une CNS pour que 4 nombres complexes de module 1 forment un rectangle ?

Merci de vos remarques.

Réponses

  • bonjour

    x,y,z,t forment un rectangle ssi (xz) et (yt) se coupent en leur milieu ET ont même longueur. Cela se traduit par le fait que les 4 points sont sur le cercle de centre le milieu de [xz] (ou puisqu'il s'agit du meme point : le milieu de [yt]).

    si : x=a+ib z=c+id le milieu de [xz], notons le m, a pour affixe : $\frac{a+c}{2}+i.\frac{b+d}{2}$.

    Il faut donc traduire en equation le fait que |y-m|=|t-m|=|x-m| (puisque par construction de m on a deja que |z-m|=|x-m|).

    A partir de là y a plus grand chose à faire... ( c'est formel, il suffit d'écrire comme disent les analystes ;))

    t-mouss
  • Bonjour, si $A$ d'affixe $a$, etc:

    $b-a = c-d$ et $\frac{b-a}{d-a} \in i \R$

    La preuve est évidente.

    Une variante consiste à utiliser les diagonales.
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Re Perplexa.

    Voici une proposition : un rectangle est un parallélogramme : $a - b +c - d = 0$ dont les diagonales ont la même longueur : $(b - d)(\bar b - \bar d) - 'c - a)(\bar c - \bar a) = 0$.

    Bruno

    P.S. Tu peux télé charger sur le site la seconde épreuve du capes de 1980 où on fait un magnifique traitement des polygones plus ou moins réguliers par les complexes. Par exemple un carré est caractérisé par :$$\left\{\begin{array}{rcl}a - b + c - d &= &0 \\ a + ib -c - id &= &0\end{array}\right. \quad \text{ou} \quad \left\{\begin{array}{rcl}a - b + c - d &= &0 \\ a - ib -c + id &= &0\end{array}\right.$$sauf erreur de mémoire.
  • $(b - d)(\bar b - \bar d) - (c - a)(\bar c - \bar a) = 0$
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