Jacobien diagonal ?

Salut a tous,

Ce n'est pas vraiment une question de math a proprement parler mais bon je pense que vous pourrez m'aider, je m'explique:

Etant donne un $C^1$-diffeomorphisme transformant un ouvert de $\R^3$ en un autre, comment interpreter le fait que le jacobien de cette application est en tout point diagonal (ou diagonalisable), cela a-t-il une consequence geometrique sur la transformation? J'aurai envie de dire que la transformation ne "tourne" pas l'objet mais je ne suis pas sur.

Merci pr tte reponse.

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Ayman

Réponses


  • Supposons que $(e_1 , e_2 , e_3)$ soit une base de l'espace vectoriel $\mathbf{R}^3$ telle que pour tout point $x \in \Omega$, l'ouvert $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ \'etant l'ouvert de d\'efinition de ton diff\'eo $f$, on ait que la matrice de $df_{x}$ dans cette base soit diagonale.

    Alors en \'ecrivant $f = (f_1 , f_2 , f_3)$, d\'ecomposition des coordon\'ees de $f$ dans cette base, l'hypoth\`ese entraine que $f_1$ s'\'ecrit comme fonction de $x$, $f_2$ de $y$, $f_3$ de $z$.

    Exemple: f(x,y,z) = (tan(x) , y , e^z)$ v\'erifie une telle hypoth\`ese.

    Maintenant, si tu veux que la diff\'erentielle soit juste {\bf{diagonalisable}} en tout point, sous-entendu pas forc\'ement toujours dans la m\^eme base, je ne sais pas quoi dire d'int\'eressant.
  • Supposons que $(e_1 , e_2 , e_3)$ soit une base de l'espace vectoriel $\mathbb{R}^3$ telle que pour tout point $x \in \Omega$, l'ouvert $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ \'etant l'ouvert de d\'efinition de ton diff\'eo $f$, on ait que la matrice de $df_{x}$ dans cette base soit diagonale.

    Alors en \'ecrivant $f = (f_1 , f_2 , f_3)$, d\'ecomposition des coordon\'ees de $f$ dans cette base, l'hypoth\`ese entraine que $f_1$ s'\'ecrit comme fonction de $x$ uniquement, $f_2$ de $y$ uniquement, $f_3$ de $z$ uniquement.

    Exemple : $f(x,y,z) = (\tan(x) , y , e^z)$ v\'erifie une telle hypoth\`ese.

    Maintenant, si tu veux que la diff\'erentielle soit juste {\bf diagonalisable} en tout point, sous-entendu pas forc\'ement toujours dans la m\^eme base, je ne sais pas quoi dire d'int\'eressant.
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