continuité de la fonction sinus

AYmen0
AYmen0
dans Analyse
Bonjour tlm,

je dois montrer la continuité de la fonction h(x)=sinx sur IR avec la définition

$\forall$$\varepsilon$>0, il existe $\eta$>0/ $\forall$|x-$x_0$|

Réponses

  • Nico
    Nico
    je dirais qu'il fat voir ca d'un point de ve geometrique (enfin ca depend de ta definition de sinus)

    avec le cercle trigo, si tu prends un intervalle $]sin(x)-\epsilon,sin(x)+epsilon[ sur l'axe des ordonnees que tu consideres comme la projection sur cet axe d'une partie du cercle trigo (ca vient de la definition classique du sinus), son image reciproque est un arc de cercle, et donc correspond a un intervalle d'angle ]x-\eta_1,x+\eta_2[, et alors $min(\eta_1,\eta_2)$ convient

    Il ne faut pas désespérer des imbéciles. Avec un peu d'entraînement, on peut arriver à en faire des militaires.
  • ryo
    ryo
    En écrivant $sin(x)-sin(y)$ sous la forme d'un produit et en utilisant $|sin(x)| \leq |x|$ ca donne pas quelque chose?
  • averroés
    averroés
    par letheoreme des acroissement finis on a
    |sin(x)-sin(y)|$\ieq$ |x-y| donc il suffit de prendre $\eta$ $ = $\varpsilon$
  • Nico
    Nico
    oups, je me corrige :

    je dirais qu'il fat voir ca d'un point de ve geometrique (enfin ca depend de ta definition de sinus)

    avec le cercle trigo, si tu prends un intervalle $]sin(x)-\epsilon,sin(x)+epsilon[$ sur l'axe des ordonnees que tu consideres comme la projection sur cet axe d'une partie du cercle trigo (ca vient de la definition classique du sinus), son image reciproque est un arc de cercle, et donc correspond a un intervalle d'angle $]x-\eta_1,x+\eta_2[$, et alors $min(\eta_1,\eta_2)$ convient

    Il ne faut pas désespérer des imbéciles. Avec un peu d'entraînement, on peut arriver à en faire des militaires.
  • Nico
    Nico
    et aussi averroés par la meme occasion :

    "par le theoreme des acroissement finis on a
    |sin(x)-sin(y)|$\leq$ |x-y| donc il suffit de prendre $\eta$ = $\varepsilon$"

    au passage, je suis d'accord, mais c'est pas sortir l'artillerie lourde pour pas grand chose, d'autant que d'apres mes souvenirs de prepa, on invoquait le TAF bien apres la definition de la continuite

    Il ne faut pas désespérer des imbéciles. Avec un peu d'entraînement, on peut arriver à en faire des militaires.
  • averroés
    averroés
    par le thm des accroissements finis on a
    |sinx-siny|<|x-y| il suffit de prendre eta=epsilon
  • averroés
    averroés
    Je suis d'accord
  • AYmen0
    AYmen0
    bon le probleme ici il faut majoré |h(x)-h($ x_0$)| par un terme qui ne contient x pour pouvoir montrer l'existance d un $\eta$.

    pour cela j ai suposer que k=x-$x_0$
    |sin x - sin $x_0$|=|sin($x_0$+h)-sin$x_0$| puis on continue par les formules trigonométriques et on majore avec les proprietes de |sinx|
  • pat4
    pat4
    Moi je ne suis pas d'accord, si tu utilises le TAF c'est que tu supposes la fonction sinus dérivable donc continue... donc tu tournes en rond...
  • AYmen0
    AYmen0
    Ils m'ont demandé d'utiliser la définition
    Merci
  • Mathieu
    Mathieu
    Quelle définition as-tu du sinus aussi ?
  • Richard André-Jeannin
    Richard André-Jeannin
    Aymen a la bonne idée. Partir de:
    sin(p)-sin(q)=2*sin[(p-q)/2]*cos[(p+q)/2], et majorer sin et cos.
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