ouvert + difféomorphisme

sisi0
sisi0
dans Topologie
Bonsoir

Comment montrer que si $f$ est un $C^k$-difféomorphisme de $U$ sur $f(U)$, alors $f(U)$ est un ouvert !

Merci

Réponses

  • Toto.le.zero
    Toto.le.zero
    f est en particulier un homéomorphisme. Exprime f(U) en fonction de f^-1 et remarque que cette dernière est continue
  • sisi0
    sisi0
    Salut !

    "exprime f(U) en fonction de f^-1"

    Je ne vois pas trop ...

    Avec des inclusions ?
  • egoroff
    egoroff
    Attention il y équivoque sur le sens donné à $f^{-1}$ : bijection récproque ou image réciproque. Ici on écrit $f(U)=(f^{-1})^{-1}(U)$, l'un des $-1$ est là pour la bijection réciproque, l'autre pour l'image réciproque. Pour y voir plus clair tu peux appeler $g$ le difféomorphisme réciproque de $f$.
  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour

    Appliquer le théorème du rang constant
    Pour tout x de U il existe un voisinage ouvert Vx tel que f(Vx ) soit ouvert

    Cordialement
  • Nico
    Nico
    plus generalement, si f est continue, et U un ouvert, f^-1(U) est un ouvert
    donc comme f est en particulier un homeomorphisme, f^-1 est continue, donc f(U)=(f^-1)^-1(U) est un ouvert

    c'est plus clair comme ca ?
  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour

    Le problème me semble mal posé
    Comment parler de difféomorphisme entre U et f(U) si f(U) n'est pas ouvert
    Comment f^-1 pourrait-il être différentiable ?

    Cordialement
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