Analyse sur les variétés

Bach4 · December 2006

Bonjour tout le monde, je vous souhaite une nouvelle année 2007, heureuse et productive.
Je débute un travail d"'analyse microlocale" sur les variétés et je ne sais pas comment définir les distributions sur les variétés :
1) Si $M$ est une variété différentielle ($\mathscr{C}^\infty$), on peut parler de fonction $\mathscr{C}^\infty$ à support compact sur $M$ ; mais comment définir son dual (quelle est la topologie qu'on doit prendre sur le dual ?)
2) Comment définir les espaces $L^p(M)$ ? sachant qu'on n'a pas de mesure "canonique" sur une variété différentielle quelconque.
3) Comment définir le produit tensoriel de deux distributions sur les variétés ? en particulier si $\Omega$ est un ouvert à bord $\Gamma$ comment définir $\delta|_\Gamma$ (distrbution de Dirac portée par l'hypersurface $\Gamma$) et le produit tensoriel $u\otimes\delta|_\Gamma$ ?

Merci pour vos réponses.

Mauricio4 · December 2006

Je ne suis pas un expert du sujet mais
1. Pour le dual, tu peux l'identifier à des formes différentielles dont les coefficients sont des distributions, c'est ce que l'on appelle des courants (de de Rham). Tu peux regarder par exemple Griffiths et Harris Principles... ou Demailly théorie de Hodge.
2. Tu ne peux pas définir L^p(M), en général on munit M d'une métrique et on intègre par rapport à la forme volume.
3. Je crois me rappeler que la distribution de Dirac portée par une sous-variété est un objet mal défini mais là encore ça dépend de la définition que tu prends. Tu peux regarder F. Pham, singularités des systèmes différentiels de Gauss-Manin, il écrit quelque chose comme : donc pour définir la fonction de Dirac portée par une sous-variété il ne suffit pas de se donner la sous-variété mais aussi une coordonnée sur cette sous-variété (il me semble que si tu as choisi une base de l'idéal de ta sous-variété ça suffit).
Le produit tensoriel de deux espace vectoriel est toujours bien défini, je ne vois pas le problème ?
Bon travail,
M.

egoroff · December 2006

Salut,
 
 Sinon tu peux aussi définir une distribution par ses restrictions à ses cartes locales, en remarquant que pour une fonction localement intégrable, une telle définition est compatible avec les changement de cartes via la formule du changement de variable (un peu vague, je sais). Tu peux regarder dans Linear Partial Differential Operators de Hörmander, d'ailleurs il doit parler d'analyse microlocale aussi.

Bach4 · December 2006

Merci Mauricio et Egoroff.
Mes connaissances sont assez vagues sur le sujet :

1) Pour définir les espaces $L^p(M)$ on aurait besoin d'une densité qui existe toujours sur une bonne variété différentielle (variété parcompacte). Mais aucune des densités, défines à partir d'une partition de l'unité, n'est canonique (i.e. prévilégiée).

2) La distribution de Dirac portée sur une hypersurface $\Gamma$ est-elle :
$=\varphi|_\Gamma$ (la trace de $\varphi$) i.e. à valeur vectorielle puisque $\varphi|_\Gamma$ est une fonction,
ou bien $=\int_\Gamma\varphi|_\Gamma\,d\sigma$.
je vois mal son lien avec la masse de Dirac à une variable $=\varphi(x_0)$.

3) Puis-je te demnader egoroff de dire un peu plus sur la restriction d'une distribution à une carte locale : si j'ai bien compris, tu part d'un objet défine globalement sur $M$ et tu vérifie que sa restriction aux cartes locales est un pull-back d'une vraie distribution défine sur un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et c'est le critère pour dire que l'objet de départ est une distribution sur $M$ ?...

Merci et à bientôt.

egoroff · December 2006

Salut Bach,

Mes connaissances sont largement en-deça des tiennes, je citais juste de mémoire ce que j'avais lu dans Hörmander. En gros on dit "si pour toute carte $(U,\varphi)$ d'un atlas donné sur $M$ on se donne une distribution $T_{\varphi}$ sur $\varphi(U)$, et que la collection des $T_{\varphi}$ vérifie les conditions de compatibilité qu'il faut, alors on appelle cette collection une distribution sur $M$"

Pour les $L^p$ tu as raison, il faut une densité canonique sur ta variété. Comme Mauricio l'a dit ça doit marcher lorsqu'on a une métrique Riemannenne par exemple. En revanche on doit pouvoir définir les $L^p_{\mathrm{loc}}$ non ?

Pour la distribution de Dirac sur des sous-variétés je ne sais pas et si tu trouves la définition ça m'intéresse, au moins pour des ouverts de $\R^d$. Je crois me souvenir qu'il avait eu un post sur le forum il y a quelques mois qui parlait de Dirac sur une droite du plan, j'essaierai de le retrouver à l'occasion.

PS : J'ai essayé de t'envoyer un mail, je ne sais pas si ça a marché, en faisant une recherche j'ai trouvé une adresse à yahoo.fr et une autre à altern.org. Si aucune des deux ne marchent, peux-tu me donner ton adresse ou m'écrire un mail ? Mon adresse est dans mon profil.

Bach4 · December 2006

Merci egoroff et je suis ravi de te connaitre.
Si j'arrive à contribuer à ce forum je le ferai avec plaisir.

p.s : je t'ai envoyé un mail sur l'adresse figurant sur ton profil.

egoroff · December 2006

Tout le plaisir est pour moi, merci pour ton mail, je viens de te répondre. Je trouve que tu contribue déjà beaucoup quand tu es là, tu devrais venir plus souvent !

basesdetranscendence · December 2006

Guillemein Sternberg asymptotic analysis est un début utile...

LIautard4 · December 2006

Bonjour

Pour la définition des distributions et courants sur les variétés
voir le cours d'analyse de Dieudonné tome 3 chapitre 17
L'exposé est clair et élémentaire sur le plan de la topologie.

Cordialement

Bach4 · December 2006

Merci basesdetranscendence et LIautard.

Je vais regarder les livres de Hormander, Guillemin & Sternberg et celui de Dieudonné, après mon retour de vacances. Je suis en fait chez ma grande famille à 200 km de ma petite bibliothèque...

A bientôt

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