corps algébriquement clos

lili M1
lili M1
dans Algèbre
Bonjour !

J'ai lu qu'un corps algébriquement clos était nécéssairement infini. Je n'arrive pas à voir pourquoi, quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?

lili

Réponses

  • egoroff
    egoroff
    Bonsoir !

    Soit un corps fini $K$, d'éléments $a_1,a_2,...,a_n$. Tu peux trouver un polynôme $P$, non constant, qui s'annule en tous les $a_k$. Et avec une toute petite modification tu en tires un polynôme $Q$, non constant, qui ne s'annule en aucun des $a_k$.
  • rainboo
    rainboo
    En utilisant la forme canonique d'une équation du second degré, ne pourrait-on pas dire que tout élément du corps est un carré, et ainsi à partir d'un élement non neutre, construire une suite infinie d'élements distincts ?
  • rainboo
    rainboo
    Hum... suis fatigué, ça marche moyen avec le corps à 2 éléments.
  • lili M1
    lili M1
    Merci pour vos messages, et excusez-moi, car je comprends pas.

    Egoroff je ne comprends comment on peut choisit P non constant s'annulant en tous les $a_i$.
    En effet, P s'annule alors sur tous les éléments de K, donc est constant nul sur K.
    Sur quel corps définissez-vous P pour dire qu'il n'est pas constant?
    Je ne comprends vraiment pas votre démarche, je suis désolée...
    Aurez-vous la patience de m'expliquer encore?

    lili
  • ryo
    ryo
    En suivant ce que dit egoroff :
    Soit $K$ un corps fini
    On peut alors énumérer tous ces éléments : $\{a_1,a_2,...,a_n\}$
    On considère le polynome $P(X)=(\prod_{i=1}^{n}(X-a_i))+1$

    Alors $P(a_i)=1$ pour tout $i$ donc $P$ ne s'annule jamais sur $K$ ce qui prouve que celui-ci n'est pas algébriquement clos
  • egoroff
    egoroff
    Oui c'est ça l'idée. Dans un corps fini, justement, on peut avoir un polynôme non nul qui s'annule partout. Dit formellement, l'application linéaire qui à un polynôme associe la fonction polynomiale qu'il définit n'est injective que sur un corps infini (quel est son noyau dans la cas d'un corps fini ?). Donc attention à ne pas déduire à la hâte que P est nul si "P s'annule sur tous les éléments de K".
  • lili M1
    lili M1
    OK merci. Dis comme ça je comprends mieux : je tombais effectivement dans le panneau P : est nul si "P s'annule sur tous les éléments de K"...

    Merci,
    lili
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