prolongement

Bonjour,

je travaille sur la leçon 2 sur les parties denses, et j'aimerais savoir si qqn a une idée de la preuve du théorème suivant:
soit D une partie dense de R, et f une fonction croissante de D à valeurs réelle.
Alors il existe g de R à valeurs ds R croissante qui prolonge f.

J'aimerais savoir aussi si je peux proposer le théorème de Helly en développement,car on utilise plusieurs fois des arguments de densité ds la preuve, et ça me ferait un bon joker..

Réponses

  • g(x)=sup\{f(y) y$\in$D,y$\leq$x \} ca ne le fait pas?
  • Oui la proposition de pedro me paraît pas mal : on définit $g(x)=\sup \{ \, f(y), \, y \in D, \, y \leq x \, \}$ pour tout $x$ réel, on vérifie que c'est bien défini, que pour $x$ dans $D$ on a $g(x)=f(x)$ et que c'est croissant, pas trop dur.
  • Merci, j'ai fait la démo .
  • Oui, Helly c'est très bien comme développement, ça se met dans compacité, dénombrabilité, suites de fonctions, fonctions monotones et prolongement. Et tu peux enchainer sur Prohorov après, si tu aimes les probas.
  • Tiens je travaille justement sur ce théorème dont un détail m'avait posé des difficultés.

    je remonte donc ce vieux poste ainsi qu'un autre concernant le théorème de Helly


    j'ai deux démos de ce (je dis ce parce qu'il y en a d'autres notamment un utilisé pour démontrer un problème de densité pour la topo faible dans le bidual...) théorème de Helly.
    L'une dans XENS de Francinou and co l'autre dans le Cotrell. Au début j'ai cru que, Prohorov mis à part, le résultat était le même. Mais en fait il n'en n'est rien. La version de Helly de XENS va plus loin car on démontre que l'on peut extraire une suite convergent simplement partout, alors que le Cotrell nous dit que l'on peut extraire une sous suite convergeant simplement partout en tout point de continuité de la fonction limite (on définit la fonction limite sur Q on la prolonge à R et on regarde où ce prolongement se passe bien)
    J'ai pas mal réfléchi sur la chose et je trouve que c'est plus subtile qu'il n'y paraît. En fait XENS utilise, sans le dire, le prolongement à R de la fonction limite définie sur Q par le procédé diagonal puis réapplique ce procédé en remarquant que l'ensemble des points de discontinuité est au plus dénombrable (c'est bête mais il fallait y penser). Cotrell explicite bien le prolongement mais ne pousse pas le raisonnement jusqu'au bout pour dire que l'on peut en fait extraire une suite convergente simplement partout
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