formes quadratiques

Bonjour,

Pour la question, deux choses : le déterminant de la matrice de passage d'une base orthonormée a une base orthonormée vaut 1 ou -1 (tout dépend de l'orientation de la base de la nouvelle base par rapport a l'ancienne). Ensuite si les bases ne sont pas orthonormées, le déterminant est non nul mais quelconque, il peut meme valoir 1 (par exemple, dans $\R^2$, la matrice passage de la base canonique $(e_1,e_2)$ a la base $(e_1, e_1+e_2)$.

Pour la 2., le rang est égal au rang de b car : si on note $N$ l'orthogonal de $E$; $N$ est appelé noyau de $b$, et on démontre que $N$ est égal au noyau de la matrice associée a $b$. Ainsi, on définit le rang de b comme le rang de la matrice associée a b. Et on obtient des résultats comme : la forme quadratique est non dégénérée si et seulement si la matrice associée a b est de rang plein ou que son déterminant est non nul.

En espérant t'avoir aidé.

" Je ne comprends pas pourquoi le rang de b n'est pas égal à la dimension de l'image de b."

Ca n'a rien à voir puisque $b$ est {\bf bi}-linéaire !
D'autre part si $b$ n'est pas nulle, l'image de $b$ est $K$ donc de dimension 1.

Bonjour, voici quelques idées d'applications/développements concernant les formes quadratiques :

- classification des quadriques affines.
- les réflexions engendrent le groupe orthogonal.
- existence et unicité d'un ellipsoïde de volume minimal contenant un compact donné.

La démo. du dernier point soulevé doit se trouver dans les "Thèmes de géométrie" par Alessandri, si ma mémoire est bonne.

A creuser et à vérifier pour ne pas faire de hors-sujet le jour J.

Je rajouterai comme application : premiere et deuxième forme fondamentale sur une surface paramétrée et définition des courbures principales.

Vincent

A titre purement culturel, voici une application arithmétique (Lagrange, Gauss) des formes quadratiques binaires $f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$ primitives (ie $\mbox {pgcd}(a,b,c) = 1$) à coefficients entiers. On note $D = b^2 - 4ac$ le discriminant de $f$.

Tout d'abord, des définitions : soit $f$ une forme quadratique primitive entière.

{\bf Déf 1}. Un entier $n$ est dit {\it proprement représenté} par $f$ ssi $n = f(x,y)$ avec $\mbox {pgcd}(x,y) = 1$.

{\bf Déf 2}. Deux formes quadratiques primitives $f$ et $g$ sont {\it équivalentes} ss'il existe quatre entiers $u,v,w,t$ tels que $ut - vw = \pm 1$ et $f(x,y) = g(ux+vy,wx+ty)$. Suivant la dénomination due à Gauss, on dit que l'équivalence est {\it propre} (resp. {\it impropre}) si $ut-vw = 1$ (resp. $ut - vw = -1$).

(Si tu as des connaissances concernant les groupes $\mbox {GL}(2,\Z)$ et $\mbox {SL}(2,\Z)$, puisque ce dernier est un sous-groupe du premier, il s'ensuit que l'équivalence propre est une relation d'équivalence).

{\bf Exemple}. Les formes $f(x,y) = 2x^2 + 2xy + 3y^2$ et $g(x,y) = 2x^2 - 2xy + 3y^2$ sont proprement équivalentes, et les formes $f(x,y) = 3x^2 + 2xy + 5y^2$ et $g(x,y) = 3x^2 - 2xy + 5y^2$ sont improprement équivalentes.

{\bf Lemme}. {\it Une forme $f$ représente proprement un entier $n$ ssi $f$ est proprement équivalente à la forme $nx^2 + Bxy + Cy^2$ pour des entiers $B,C \in \Z$}.

{\bf Preuve}. Si $f$ est proprement équivalente à la forme $nx^2 + bxy + cy^2$, alors $f$ représente proprement $n$ en prenant $(x,y) = (1,0)$. Réciproquement, soit $f(x,y) = ax^2 + bxy + cy^2$ telle que $n = f(p,q)$ avec $\mbox {pgcd}(p,q) = 1$, alors, d'après Bézout, il existe $u,v \in \Z$ tels que $pu-qv = 1$, et donc : $$f(px+vy,qx+uy) = f(p,q)x^2 + xy(2apv + bqv + bpu + 2cqu) + f(u,v)y^2 = nx^2 + Bxy + Cy^2.$$

Ceci permet d'obtenir le résultat principal :

{\bf Th}. {\it Soit $D \in \Z$ tel que $D \equiv 0, \, 1 \pmod 4$ et $n$ un entier impair premier avec $D$. Alors, $n$ est proprement représenté par une forme quadratique primitive de discriminant $D$ ssi $D$ est un résidu quadratique modulo $n$}.

{\bf Preuve}. Si $f(x,y)$ représente proprement $n$, alors le lemme ci-dessus implique que l'on puisse supposer que $f(x,y) = nx^2 + Bxy + Cy^2$, et donc $D = B^2 - 4nC \equiv B^2 \pmod n$.

Réciproquement, si $D \equiv B^2 \pmod n$. Puisque $n$ est impair, on peut supposer que $D$ et $B$ ont la même parité (quitte à remplacer $B$ par $B+n$), et puisque $D \equiv 0, \, 1 \pmod 4$, on a $D \equiv B^2 \pmod {4n}$. Autrement dit, $D = B^2 - 4Cn$ pour un certain entier $C$. Ainsi, la forme $nx^2 + Bxy + Cy^2$ représente proprement $n$ et a pour discriminant $D$, et elle est bien primitive puisque $\mbox {pgcd}(D,n) = 1$.

Borde.

<<Si q est non dégénérée, le rand de q est égal à la dimension de E, donc la matrice représentant q sera l'identité, mais je ne vois pas pourquoi la base sera orthonormée>>

Ce que je ne vois pas, c pourquoi le fait que le rang de la matrice de q soit égal a n implique que la matrice de q est l'identité. Il existe énormément de matrice de rang plein qui ne sont pas l'identité. Quant à l'existence de la base orthonormée pour la forme bilinéaire associée a q, sur mon post il y a deux démonstrations de ce résultat : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=343983&t=343983

Concernant le th de Sylvester, si (r,p) est la signature de q, alors r est la dimension maximale d'un sev sur lequel q est définie positive, p la dimension maximale d'un sev sur leque q est définie négative, et r+p est le rang de q. Donc si r=n il existe un sev de E de dimension n sur lequel q est définie positive, mais un sev de E de dimension n est égal a E, donc q est définie positive sur E

J'espère t'avoir aidé.

Je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas :-)

Dire que la base $(e_i)$ est orthonormée pour $q$ est équivalent à dire que la matrice de $q$ dans $(e_i)$ est l'identité.

D'où l'intérêt de préciser pour qui ou pour quoi on est orthonormée...

Si tu parles de formes quadratiques à un jury et qu'ensuite tu parles de bases orthonormées sans préciser si c'est pour le produit scalaire usuel ou pour la forme quadratique dont tu parles, ca risque de vite devenir ingérable.

t-mouss