Ordre d'une fonction entière

Averse0 · December 2006

Bonsoir, si $f$ est une fonction entière, on note souvent pour $r\geq 0$ $M(r)=\sup_{|z|=r}|f(z)|$. On dit qu'une fonction entière est d'ordre fini si il existe $A$ et $r_{0}\geq 0$ tels que $M(r)\leq e^{r^{A}}$, et d'ordre infini si ce n'est pas le cas. Puis on définit l'ordre de la façon suivante : si $f$ est entière d'ordre fini $\rho=\inf\{A\geq 0 : \exists r_{0}\geq 0 : M(r)\leq e^{r^{A}} \forall r\geq r_{0}\}$ et si $f$ est d'ordre infini par $\rho=\infty$.

Le but est de montrer que $$\rho=\limsup_{r\rightarrow\infty}\frac{\ln(\ln(M(r))}{\ln(r)}$$

Si $\rho=\infty$ je vois pourquoi on a cette égalité. Mais si $\rho$ est fini, on sait juste qu'il existe $A, r_{0}\geq 0$ tels que $M(r)\leq e^{r^{A}}$ pour $r\geq r_{0}$. On arrive ainsi, avec $r$ suffisemment grand à $$\frac{\ln(\ln(M(r)))}{\ln(r)}\leq A$$.

On sait que $M$ est croissante.

Bref. Merci d'avance.

Gilles Benson0 · December 2006

bonsoir:
C'est prouvé dans Rubel: entire et meromorphic functions page 41 où l'ordre d'une fonction entière est aussi défini.

Gilles Benson0 · December 2006

on pose $log^+(t) = sup(logt,0)$
on a:
$log(M(r) \leq log^+A + Kr^{\rho '}$
étant entendu que dans ce bouquin la définition de f est d'ordre fini $\rho$
est:

1) $\forall \rho '> \rho , \exists A,K $
tels que:
$|f(z)| \leq A e^{K|z|^{\rho '}}$

2) ceci n'est pas vrai pour $\rho_0 < \rho$

Dans ces conditions,
$log^+ log^+ M(r) \leq log^+ log^+ A + log^+ K + \rho ' log^+ r + log^+ 2$
donc:
$\frac{log^+ log^+ M(r)}{logr} \leq \rho ' + o(1)$ si r tend vers l'infini.

On s'interesse maintenant à:
$\lambda = limsup_{r \longrightarrow \infty} \frac{log^+ log^+ M(r)}{logr}$
et à vous de voir que $\lambda \leq \rho$
la suite demain car j'ai du travail...

pat4 · December 2006

c'est aussi tres bien fait dans le levin "entire functions" qui est en acces libre dans le site de l'ams....
tu as aussi une jolie formule qui relie l'ordre (et une aussi pour le type) avec ses coef de Taylor du style je fais ca de tete mais c'est (entre autre dans le levine)
$$f(z)=\sum_n a_n z^n \ \implies\ \rho_f=\limsup_n\dfrac{\log_2(\vert a_n\vert)}{\lon(n)}$$

pat4 · December 2006

il faut lire $\log(n)$ au denominateur, pardon....

Gilles Benson0 · December 2006

Bonjour, par contre dans Boas: entire functions (Academic press) et dans Valiron (Théorie des fonctions chez Masson) incontournable, l'ordre est défini par la limite que vous souhaitez obtenir.

Alain Debreil · December 2006

$$f(z)=\sum_n a_n z^n \ \implies\ \rho_f=\limsup_n\dfrac{\log_2(\vert a_n\vert)}{\log(n)}$$

pat4 · December 2006

Pour aller dans le même sens que Gilles Benson la formule demandée par Averse en est l'écriture mathématique de la définition de l'ordre (c'est la plus petite constante telle que...) on l'écrit et on voit aparaitre la limsup c'est effectivement très bien expliqué dans le Boas où on trouve aussi la formule que je propose plus haut (à la fin du premier chapitre si je me souviens bien) qui elle est un vrai théorème (plus ou moins dû à Goldberg je crois)

Gilles Benson0 · December 2006

je continue mon travail de transcription: il doit ête clair que:

$t \longrightarrow log^+(t) = sup(logt,0)$ est croissante et positive;

$ \frac{log^+ (log^+( M(r)))}{log(r)} \leq \rho ' + o(1)$ et la définition de $\lambda$ entraine que:

$ \lambda \leq \rho',\forall \rho'$ tel que $ \rho \leq \rho'$ .

Ceci entraine que:
$ \lambda \leq \rho$

prouvons l'inégalité en sens contraire:

par définition de $ \lambda$ :
$\displaystyle \lambda = limsup_{r \longrightarrow \infty} \frac{log^+( log^+ (M(r)))}{log(r)}$

donc:
$ log^+( log^+( M(r))) \leq ( \lambda + o(1))log(r)$
en reprenant l'exponentielle:
$M(r) \leq e^{e^{( \lambda + o(1))log(r)}} = e^{r^{\lambda}r^{o(1)}}$

Maintenant si $\lambda' > \lambda$, et si $r$ est assez grand la dernière, inégalité donne:
$M(r) \leq e^{r^{\lambda'}}$

puis pour tout $r$:
$M(r) \leq A e^{r^{\lambda'}}$
la constante $A$ compensant pour les petites valeurs de $r$.
Finalement $f$ est d'ordre $\lambda'$ pour $\lambda' > \lambda$.
L'ordre de $f$ est donc $\lambda$.

Gilles Benson0 · December 2006

je sais que le résultat ne correspond pas tout à fait à ce que vous attendiez mais le fait de faire apparaître une constante K dans la définition bien que compliquant la formule permet ensuite de définir le type d'une fonction entière d'ordre fini $\rho$.

Il vous reste aussi à voir en quoi l'emploi de:

$ t \longrightarrow log^+(t) = sup(logt,0)$

au lieu du logarithme a une incidence sur le résultat.

Une formule pour l'ordre en fonction du développement en série entière de $f$ est:

$\rho = limsup \frac{nlog(n)}{log(\frac{1}{|a_n|})}$

si $f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$

Cette formule est donnée par les références précédentes ainsi que par Titchmarsh (Theory of functions chez Oxford).

Gilles Benson0 · December 2006

bonsoir, j'ajouterais avant d'aller dormir que cette démonstration (*) est à mettre en parallèle avec celle de la formule d'Hadamard pour la détermination du rayon de convergence (Voir Remmert theory of complex functions chez Springer où ceci est particulièrement clair). (*) la formule à l'origine du fil mais aussi la formule supplémentaire liant l'ordre aux coefficients.

Averse0 · December 2006

Merci beaucoup. J'en ai assez pour réfléchir et entre trouvé un livre d'un de mes professeur qui traite ce problème.

Ordre d'une fonction entière

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