suite orthonormée et compact

FannyD · December 2006

Bonjour,

Je n'arrive pas faire la demonstration suivante :

Soit H un espace de Hilbert. On considère une suite orthonormée $e_n$, n$\geq$1. Montrer que cet ensemble S=($e_n$,n$\geq$0)$\subset$H n'est pas compact.

Je ne vois pas du tout comment aborder ça. Auriez-vous une idée?
Merci

Guego · December 2006

S'il est compact, on peut en extraire une sous-suite convergente : $e_{\phi(n)}$ tend vers $x \in S$.

Comme $x \in S$, il existe $i$ tel que $x = e_i$.
Or, si $n$ est suffisamment grand $\phi(n) \neq i$, donc $ = 0$ (les vecteurs sont orthogonaux). En passant à la limite, on obtient $||e_i||^2 = 0$, ce qui est absurde.

pat4 · December 2006

ou encore pour $i\neq j$ : $\Vert e_i-e_j\Vert=\sqrt{2}$

Gilles Benson0 · December 2006

C'est donc un moyen de prouver que la boule unité d'un espace de Hilbert n'est pas compacte.

egoroff · December 2006

(de dimension infinie)

Gilles Benson0 · December 2006

bonsoir egoroff, si on est en dimension finie la base est finie donc compacte.

suite orthonormée et compact

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Bonjour!

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