Cours d'algèbre en ligne

Salut à tous,

après un nombre incalculable de demandes par email, (au nombre de 2 lol ), j'ai décidé de mettre en ligne mon cours d'algèbre sur la théorie élémentaire des anneaux et des corps.

Le cours contient aussi quelques feuilles d'exos, mais pas les solutions. Si vous coincez, criez au secours sur le forum ou par email :-)

Je vous serai reconnaissant de bien vouloir me signaler toute coquille que vous pourriez rencontrer par email, le polycopié étant destiné à mes étudiants au second semestre.

Algebra forever!!!!


Notes aux modérateurs: si vous pouviez mettre à disposition ce document dans la section "Cours à télécharger" de ce merveilleux site, je vous en serai fort reconnaissant, en prévision du jour où ce post redescendra dans les abîmes.

Réponses

  • Salut Greg,

    et merci pour ce cours, que je viens de parcourir...A tout hasard, voici quelques remarques, tu en feras l'usage que tu voudras, bien évidemment :

    1. Je n'ai pas vu le lemme de Krull. L'as-tu mis ? Il semble peut-être avoir sa place dedans, non ?

    2. Il est vrai que l'anneau des entiers d'un corps quadratique $\K = \Q (\sqrt d)$ dépend de $d \pmod 4$, mais on peut l'écrire plus simplement en utilisant le discriminant $d_{\K}$ du corps : on a alors l'écriture $\displaystyle {\mathcal {O}_{\K} = \Z \left [ \frac {d_{\K} + \sqrt {d_{\K}}{2} \right ]}$, ce qui évite la séparation des cas $d \equiv 1 $\pmod 4$ et $d \not \equiv 1 \pmod 4$.

    3. Le théorème d'Ore pour l'irréductibilité des polynômes entiers peut être un bon outil (on a en parlé avec Lolo, ici). Peut-être l'as-tu mis en exercice. De même, éventuellement, que les polygones de Newton (à la mode), même s'ils ne différent pas vraiment essentiellement du critère d'Eisenstein.

    Félicitations pour ce travail,

    Borde.
  • Salut Greg,\\
    \\
    et merci pour ce cours, que je viens de parcourir...A tout hasard, voici quelques remarques, tu en feras l'usage que tu voudras, bien évidemment :

    1. Je n'ai pas vu le lemme de Krull. L'as-tu mis ? Il semble peut-être avoir sa place dedans, non ?

    2. Il est vrai que l'anneau des entiers d'un corps quadratique $\K = \Q (\sqrt d)$ dépend de $d \pmod 4$, mais on peut l'écrire plus simplement en utilisant le discriminant $d_{\K}$ du corps : on a alors l'écriture $\displaystyle {\mathcal {O}_{\K} = \Z \left [ \frac {d_{\K} + \sqrt {d_{\K}}}{2} \right ]}$, ce qui évite la séparation des cas $d \equiv 1 \pmod 4$ et $d \not \equiv 1 \pmod 4$.

    3. Le théorème d'Ore pour l'irréductibilité des polynômes entiers peut être un bon outil (on a en parlé avec Lolo, ici). Peut-être l'as-tu mis en exercice. De même, éventuellement, que les polygones de Newton (à la mode), même s'ils ne différent pas vraiment essentiellement du critère d'Eisenstein.

    Félicitations pour ce travail,

    Borde.
  • Salut Borde,

    je crois que tu surestimes grandement le niveau des étudiants en Angleterre. C'est vrai que j'aurai pu mettre le lemme de Krull, mais il faut parler de Zorn (si on pense bien au même théorème...).

    Pour ilustrer mon propos, les étudiants de maths pures de 4ème année ne sont même pas fichus de calculer la dimension de $\C$ sur $\R$ !!!
    Et on leur donne leur diplôme. Bref...

    Quant au théorème d'Ore, j'avoue de pas connaître, mais je ferai une recherche sur le forum. Les polygônes de Newton sont sympas, je les avais utilisé dans ma thèse, mais hélas demande une préparation assez considérable. Il me semble qu'il faut parler d'anneau complet pour une valuation discrète, non? Néanmoins, je garde la suggestion sous le coude pour l'année prochaine, si je n'arrive pas à m'enfuir d'Angleterre d'ici là :-)

    Merci pour ta lecture, en tout cas. Au moins, je suis sûr maintenant qu'au moin une personne aura lu ce cours :-) (parmi mes étudiants, c'est moins certain lol)

    Greg

    Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
  • Bonjour,

    juste une petite anecdote sur la dernière remarque de GreginUK, c'est vrai que c'est un souci de savoir s'ils lisent ou pas ce que l'on leur donne... D'ailleurs, j'ai fait une petite expérience : j'ai donné à une de mes classe un corrigé à lire. J'ai glissé au milieu le mot "girafe"... On verra s'ils me disent quelque chose...

    Désolé d'avoir quelque peu pollué, mais je voulais faire part de mon désespoir !
  • Oui, vous avez raison tous les deux...Il faut bien différencier des cours propres que l'on se fait pour soi, et ceux qu'on donne directement à lire aux élèves (sacré Ménagex : "Girafe" au milieu d'une correction...).

    Quant aux polygones de Newton, il s'agissait d'une version simplifiée, à la manière de ce que fait Filaseta (tu dois certainement connaître) dans son cours sur l'irréductibilité (voir \lien {http://www.math.sc.edu/\~{}filaseta/newton/newton.html}). On peut voir ça comme cela :

    Soit $\mathbb {A}$ un anneau factoriel, $p$ un élément premier dans $\mathbb {A}$ et $P(X) = \sum_{i=0}^{n} a_i X^i$ un polynôme de $\mathbb {A}[X]$ de contenu égal à $1$. Le polygone de Newton relativement à $p$ est (ici) la plus petite fermeture convexe de l'ensemble des points (i,v_p(a_i))$. Alors :

    {\it Si le polygone de $P(X)$ relativement à $p$ n'est constitué que d'un seul segment $(0,m)$ à $(n,0)$ avec $\mbox {pgcd} (m,n) = 1$, alors $P(x)$ est irréductible sur} $\mathbb {A}$.

    Borde.
  • Oui, vous avez raison tous les deux...Il faut bien différencier des cours propres que l'on se fait pour soi, et ceux qu'on donne directement à lire aux élèves (sacré Ménagex : "Girafe" au milieu d'une correction...).

    Quant aux polygones de Newton, il s'agissait d'une version simplifiée, à la manière de ce que fait Filaseta (tu dois certainement connaître) dans son cours sur l'irréductibilité (voir \lien {http://www.math.sc.edu/\~{}filaseta/newton/newton.html}). On peut voir ça comme cela :

    Soit $\mathbb {A}$ un anneau factoriel, $p$ un élément premier dans $\mathbb {A}$ et $P(X) = \sum_{i=0}^{n} a_i X^i$ un polynôme de $\mathbb {A}[X]$ de contenu égal à $1$. Le polygone de Newton relativement à $p$ est (ici) la plus petite fermeture convexe de l'ensemble des points $(i,v_p(a_i))$ (où $v_p$ est la valuation $p-$adique). Alors :

    {\it Si le polygone de $P(X)$ relativement à $p$ n'est constitué que d'un seul segment $(0,m)$ à $(n,0)$ avec $\mbox {pgcd} (m,n) = 1$, alors $P(x)$ est irréductible sur} $\mathbb {A}$.

    Est-ce comme ça que tu les utilisais dans ta thèse ?

    Borde.
  • Euh, je ne sais plus , ca remonte à tellement loin !(7ans déja...je vieillis, raaaah!) En fait, je crois que je les utilisais pour obtenir les degrés possibles des polynômes intervenant dans une hypothétique factorisation (mon polynôme était à valeur dans $k[X,Y]$).

    Si tu as une bonne référence sur les polygônes de Newton (le cas général), je suis preneur.

    Quant au théorème d'Ore, l'énoncé m'intéresserait bien également (ou alors le lien sur le forum, j'ai pas été fichu de le trouver), si cela ne te dérange pas.

    Greg

    Ora, lege, lege, relege, labora et invenies (Prie, lis, lis , relis, travaille et tu trouveras)
  • Cela ne me dérange absolument pas.

    Pour les polygones / polytopes de Newton, j'aime bien l'article suivant :

    {\bf Shuhong Gao}, {\it Absolute irreducibility of polynomials via Newton polytopes}, Journal of Algebra {\bf 237} (2) (2001), 501-520.

    Pour Ore, tu as le théorème suivant :

    {\bf Th} (Ore). {\it Soit $f(x)$ un polynôme de $\Z[x]$ de degré $n \geqslant 1$. S'il existe $n+5$ entiers distincts $m$ tels que $|f(m)|$ soit premier, alors $f(x)$ es irréductible sur $\Z$}.

    Borde.
  • Super! Merci beaucoup.
  • De rien, ce n'était pas grand-chose, tu penses bien !

    A +

    Borde.
  • Argggggghhhhhh il est en anglais !!!!!
    Moi et l'anglais ca fait deux !
  • C'est l'occasion d'apprendre... A ton Harrap's :-) !
    Et puis, tu peux toujours me demander si t'es pas sûr d'un terme.
  • Greg, t'es dur !

    Déjà que Micke a du mal à comprendre le français impeccable de Borde, tu voudrais en plus qu'il apprenne l'anglais...

    (Micke : je rigole, mais, désolé, celle-là, je ne pouvais pas la rater.. :-)
  • C'est sur mais bon quand on fait allemand et qu'on a pas fait d'anglais depuis la term... :(( c'est dur de s'y remettre (c'est dur de s'y mettre tout court d'ailleurs) car mon niveau en anglais tend vers 0 ...
    Bon on va voir si je suis motivé car en plus mon niveau en algèbre laisse fortement à désirer, faudrait que je trouve un bon bouquin pour me remettre à niveau : niveau M1 sur les modules, ensembles algébriques etc... Si vous avez des références je suis preneur (et de préférence en français !)

    Oui je me demande bien d'ailleurs à quoi je suis bon : pas en français pas en langues pas en maths :p peut-être aux échecs... et encore !

    Amicalement Micke
    (Aleg aucun prob je l'aurais faite aussi, elle était trop belle !)
    (Borde petite question la démo du tnp forte ou/et faible en TER ça peut valoir le coup ? )
    (Désolé de pourrir le poste)
  • Salut Micke,

    Le TER, c'est bien le mémoire de M1, non ?

    Si oui, la version faible est bien adaptée, la forte (j'en ai mis une partie sur le forum) demandera (beaucoup) plus d'investissements, surtout quant aux estimations de $\zeta$ et de ses copines dans une région sans zéro. A toi de voir si tu te lances là-dedans. Lorsque j'ai écrit mon bouquin, j'ai longuement hésité entre telle ou telle version, puis je me suis finalement décidé à "rester sur" les inégalités de Tchebichef, mais en donnant de bonnes constantes, ce qui m'a permis d'encadrer le $n-$ème nombre premier de manière satisfaisante.

    A noter aussi qu'il existe une version "élémentaire" (c'est-à-dire sans utiliser l'analyse complexe) du théorème de Dirichlet (voir mon livre pages 77-81), mais le travail est plus long, et l'on n'échappe pas aux caractères...objet éminemment algébrique. Le travail de Shapiro pour démontrer que $L(1;\chi) \not = 0$ lorsque $\chi \not = \chi_0$ est néanmoins un modèle du genre...

    Good luck,

    Borde.
  • Tiens, c'est curieux, chez nous en province, TER ça veut dire train express régional...
  • Salut Aleg,

    Tu as bien raison : on est dans le siècle des sigles...TER, TPE, TIPE, TICE, SVT, que sais-je encore ! D'ailleurs, j'ai moi-même attrapé la maladie, puisque je n'arrête pas de parler ici de TNP, TNPPA, RH, GRH, ERH, TFA (un élève m'a dit récemment que ce dernier signifiait Théorème Facile à Apprendre...), etc.

    Borde.
  • Micke, si tu veux un cours sur les modules, je pense que si tu vas voir sur la page web de Chambert-Loir, tu trouveras ton bonheur parmi les cours a telecharger: algebre, geometrie algebrique.

    Greg
  • Au fait, Greg, j'ai un peu fait dévié ton sujet initial...J'espère que tu m'en excuseras...

    Borde.
  • Je te pardonne dans un élan de magnanimité suprême. Va en paix LOL

    (traduction pour les non-anglophones: LOL=Lot of laughs, équivalent britannique de MDR)
  • Merci bcp Greg pour le cours il a l'air effectivement assez bien !!

    Moi aussi jespere tu me pardonneras pour la dérvie du sujet, j'en suis un peu à l'origine :(

    Et Lol je comprend tout de même, je sais pas pourquoi mais je sens que cette phrase m'est un peu destinée :p...
    Je suis pas non plus un homme des cavernes (lol)

    Le ter est effectivement le mémoire de M1 !!
    Bon ben si le prof est d'accord j'aurai trouvé mon sujet ! Et je posterai volontiers fin juin mon mémoire, si il y a des intéressés, d'içi là borde je risque de te poser quelques questions (re lol) si tu me le permets évidemment !

    Amicalement
    Micke
  • Tiens, moi je pensais que lol signifiait "laughing out loud"...

    Ritchie
  • Salut Micke,

    Je reste à ta disposition (ainsi que d'autres) pour répondre à toute question éventuelle, et à t'apporter l'aide dont tu pourrais éventuellement avoir besoin. Le cas échéant, des références te seront également communiquées.

    Bon courage,
    Borde.
  • Serait-il possible d'obtenir un lien vers une demonstration de ce theoreme de Ore dont tout le monde parle?
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