difféomorphisme + restriction

Salut :=)

Je vous expose mon exercice :

On considère l'application $f$ définie par $$f(x,y)=(e^{x}cos(y),e^{x}sin(y))$$

1) Montrer que $f$ est un $C^{\infty}$-difféormophisme local sur $R^2$

2) Montrer que ce n'est pas un $C^{\infty}$-difféomorphisme

3) Trouver les ouverts $U$ les plus grands tels que $f_{|U} : U->f(U)$ soit un $C^{\infty}$-difféomorphisme.




1) $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R^2$. Par ailleurs, $|J_{(x,y)}f|=e^{x} \neq 0$ pour tout $(x,y) \in \R^2$
Donc d'après le théorème d'inversion locale, $f$ est un $C^{\infty}$-difféomorphisme local sur $\R^2$

2) On remarque que $f(x,y)=f(x,+y+2\pi)$
Donc $f$ n'est pas injective, donc $f$ n'est pas un $C^{\infty}$-difféomorphisme

3) J'aurai besoin d'un peu d'aide

Merci beaucoup

En L3 de mathématiques