brownian slalom

On sait que le MB est à accroissements indépendants, donc l'union de ces 2 événemnts est égal à leur produit.
On sait aussi que $B_t$ suit une loi $N(0,t)$ (où $t$ est la variance).
Je pense que tu peux alors conclure...

Je n'arrive plus du coup à justifier qu'on puisse écrire $P(B_1 > 0 , B_2 0) x P(B_2 < 0)$, peut-être que c'est parce que c'est faux...!

Okay : oui c'est faux parce que savoir que $B_1 > 0$ diminue la proba de $B_2 < 0$ (il faut que le MB fasse un trajet plus long) ; donc on s'attend à un résultat plus petit que $1/4$.

Ah c'est possible, j'ai fait ça mécaniquement, il ne faut pas me demander de réfléchir un vendredi soir

Sans calcul je suis curieux.. laisse-nous chercher encore un peu mais pas trop.

Moi je vous laisse chercher, mon cerveau est trop fatigué ce soir.
Au passage, j'ai fait le calcul et sauf erreur de ma part (fort possible d'après ma phrase précédente) je trouve 1/8.
Mais la réponse sans calcul m'intéresse quand même !

Avec les notations de Kuja. On veut $P(X>0, Y0, Y>X)$. On peut écrire cela de la manière tordue suivante : $P(X>0, Y>0, Y>X)$. On voit apparaitre le $(1/2)^3$...

(Remarque : c'est non calculatoire mais plus pénible à justifier...).

J'aime bien le coup du secteur angulaire. Bien vu !

Joli ! Et très bien vu aussi le coup du secteur angulaire (qui finalement est une version géométrique de ton raisonnement tordu). Quant à moi j'avais fait le même calcul que YomGui, essentiellement.

Bon évidemment le titre invite la question : qu'en est-il pour $n$ points ? que vaut $\mathbb{P}((-1)^k B_k < 0, \, \forall k \leq n)$ ? On doit pouvoir adapter le raisonnement de Yop.

Et pour des points pas forcément régulièrement espacés, $\mathbb{P}(B_s > 0, B_{s+t} < 0 )$ ? Dans ce cas le secteur angulaire est déformé, je vois bien une tangente ou quelquechose dans le style apparaître...

Même si je me sens seul sur ce fil, je donne le résultat de mes recherches.
J'ai cherché le résultat plus général avec $B_1$, $B_2$, ..., $B_n$ et je suis tombé sur un paragraphe dans le Kendall's Advanced Theory of Statistics Vol I qui m'a permis de vérifier le calcul précédent. Cependant, il est aussi indiqué qu'on ne connaît pas de formule analytique pour $B_1$, $B_2$, ..., $B_n$ pour $n > 3$, tout du moins en 1995, date de parution du bouquin. Peut-être que des gens ont travaillé dessus depuis, j'essaierai de faire une recherche biblio demain.
J'arrête là pour aujourd'hui.

Amicalement,

Désolé Kuja je viens de voir tes réponses. Tu as trouvé ta formule par intégration où en adaptant la méthode "secteur angulaire" de Yop ? Pour les $n$ valeurs c'est étonnant qu'on ne sache pas le faire, il s'agit pourtant encore de mesurer un secteur de $\R^n$. Je vais essayer de comprendre pourquoi ça ne marche pas.

Salut egoroff,

Pas de souci, je me doutais bien que tu repasserais.
La formule je l'ai obtenue par intégration, les calculs que j'avais déjà faits s'adaptaient relativement facilement. J'ai une autre technique d'intégration issue du bouquin que j'ai cité dans mon message précédent.
D'autre part, ça ne me paraît pas si évident. Ce qu'on recherche en réalité, en considérant que $B_1,\ldots,B_n$ est un vecteur gaussien centré de matrice de variance-covariance connue, c'est grosso-modo qu'un vecteur gaussien centré ait toutes ses composantes positives. Grosso-modo car il faut d'abord transformer le vecteur $B_1,\ldots,B_n$ pour se ramener à des composantes toutes positives, mais c'est facile. Cependant l'orientation du vecteur gaussien, bien que connue par la matrice de variance-covariance, n'est pas si facile que ça à obtenir.

Néanmoins je dois nuancer mon propos. On a le résultat sous forme de série infinie compliquée (qui se simplifie un peu quand toutes les corrélations sont égales ce qui n'est pas notre cas) et on peut avoir une approximation numérique, toujours d'après mon bouquin. Si quelqu'un souhaite voir la gueule du truc, je ferai l'effort de le taper.

Amicalement,