exemple

Bonjour,

je cherche un exemple de fonction f à valeurs réelles qui est linéaire,continue,d'inverse continue mais non uniformément continue.
J'ai essayé plusieurs exemples, sans aboutir..

Réponses

  • linéaire+continue => lispschitienne => uniformément continue

    sauf erreur.
  • Premièrement : une application linéaire continue est uniformément continue. Je ne pense pas que la linéarité soit vraiment la propriété que envisages.

    Deuxièmement : "d'inverse continue". L'inverse, c'est $\dfrac{1}{f}$, où $f^{-1}$ ?
  • M'est avis que pour Séverine l'inverse est bien la récipoque, donc que l'espace de départ est homéomorphe à $\R$ pour la norme de départ.

    Ne peut-on pas dire alors que l'espace de départ est isomorphe à $\R$ (en tant qu'ev) ? Au au moins qu'il est de dimension finie (ça, ça me paraît clair, mais je me méfie) ? L'hypothèse "linéaire" toute seule donnerait alors l'uniforme continuité.
  • Je pense que Séverine cherche un homéomorphisme de $\R$ dans $\R$ qui ne soit pas uniformément continue, du genre sinus hyperbolique.
  • Quand je parle de l'inverse de f, je veux parler de $f^{-1}$.
    Je ne comprends pas le raisonnement de barbu rasé.
    Si je prends f(x)=x², f est continue,d'inverse continue, mais n'est pas uniformément continue, donc je dois bien utiliser le fait que f soit linéaire.
    Par contre, je ne vois pas où ibntervient le fait que la réciproque de f est continue.
  • Mais si $f$ est linéaire de $\R$ dans $\R$, elle est de la forme $f(x) = ax$, donc continue, bijective si $a$ est non nul, de bijection réciproque $f^{-1}(x) = \dfrac{x}{a}$ continue : $f$ et $f^{-1}$ sont toutes les deux uniformément continue.
  • attention severine $x^2$ n'est pas uniformément continue mais $\sqrt{x}$ l'est

    geoffrey
  • Donc si f est linéaire et continue alors f est uniformémént continue comme le dit gb.
    Donc on n'a pas besoin de la continuité de la réciproque de f.

    Merci,
    séverine.
  • On n'a pas besoin de la continuité de f non plus (si f est linéaire de R dans R).

    C'est précisément ce que j'écrivais à 19h41 et que gb t'a précisé à 19h55.
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