reconnaitre des applications

novice · December 2006

Bonjour, j'ai un exercice où trois applications sont définies analytiquement, il faut les caractériser.
Généralement, il me semblait qu'on regardait si l'application admettait des points invariants, (mais ici je bloque) et meme après je ne vois pas quoi faire?
x'=z+1
y'=x-3
z'=y+2

Pourriez vous me guider? Merci

novice · December 2006

je me réponds...
j'ai en fait trouvé un systeme impossible pour M=M'
Donc j'en déduis que c'est soit une translation soit un vissage (si c'est un déplacement) ou une symétrie glissée (si c'est un antidéplacement)....? Juste?
Ensuite, j'ai écris le systeme en forme matricielle et là est ce juste de regarder le déterminant de la matrice et d'en déduire la catégorie de f?

LIautard4 · December 2006

Bonjour

c'est une application affine

la fonction linéaire associée est une isométrie reste à regarder le déterminant

Cordialement

novice · December 2006

merci. C'est une isométrie car les x', y', z' sont combinaisons linéaires des x, y et z, c'est cela?
Sinon, pour le déterminant, j'ai trouvé 1, donc je sais que c'est un déplacement. Ainsi, c'est soit une trnaslation, soit un vissage.
Puis, d'après l'écriture analytique de f, f n'est pas une rotation. Il s'agit donc d'un vissage.
Alors première question : mon raisonnement est-il juste?
deuxieme question, si oui, comment dois je faire pour déterminer ses caractéristiques?

merci..

egoroff · December 2006

C'est une application affine car les $x'$, $y'$ et $z'$ sont combinaison linéaires de $x$, $y$, $z$ et de constantes. La partie linéaire de cette application est l'application linéaire qui a la même expression mais sans les constantes : $x'=z$, $y'=x$, $z'=y$. C'est une isométrie parce la matrice qui la représente est orthogonale.

novice · December 2006

D'accord merci bien. et pour la suite, est ce correct, ce que j'ai écrit?

egoroff · December 2006

On voit que ce n'est pas une translation (la partie linéaire serait alors l'identité) donc comme tu le dis c'est un vissage, c'est correct. Pour retrouver ses caractéristique tu dois avoir un cours non ? Par exemple la direction de l'axe est donné par l'ensemble des points fixes de la rotation qui est donnée par la partie linéaire de ton application.

novice · December 2006

oui, ben je vais regarder tout ça. Merci à tous.

egoroff · December 2006

Je t'en prie, n'hésite pas à repasser à l'occasion !

LIautard4 · December 2006

Bonjour
Saut erreur, l'appplication affine a un point fixe facile à trouver
Cordialement

egoroff · December 2006

Oui et même une droite de points fixes (forcément puisque sa partie linéaire est une rotation). On dirait que novice a eu un petit problème en résolvant son système ?

LIautard4 · December 2006

Bonjour

L'existence d'un point fixe donc d'une droite fixe aurait pu se voir sans calcul en remarquant que :
(1,-3,2) est orhogonal à (1,1,1) qui donne le sous espace propre de la valeur 1 de la rotation linéaire associée.

Cordialement

novice · December 2006

ah oui effectivement on a une droite de points fixes. désolé...

novice · December 2006

bon, j'ai repris cet exercice, raisonnons petit à petit, est-ce juste d' :

1) étudier la matrice de la partie linéaire associée, je trouve un déterminant égal à 1, j'en conclus que c'est un déplacement?
2) je trouve 1, exp(i2$\pi$/3),exp(-i2$\pi$/3) comme valeurs propres, j'en déduis que c'est une rotation?
3) d'angle 2$\pi$/3 et pour l'axe, il est orienté par (1,1,1)?

novice · December 2006

bon, j'ai repris cet exercice, raisonnons petit à petit, est-ce juste d' :

1) étudier la matrice de la partie linéaire associée, je trouve un déterminant égal à 1, j'en conclus que c'est un déplacement?
2) je trouve 1, exp(i2$\pi$/3),exp(-i2$\pi$/3) comme valeurs propres, j'en déduis que c'est une rotation?
3) d'angle 2$\pi$/3 et pour l'axe, il est orienté par (1,1,1)?

reconnaitre des applications

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