Continuité et dérivabilité d'une fonction

julie2 · December 2006

Bonjour,

Je ne vois pas très bien comment rédiger les réponses aux deux questions suivantes. Pouvez-vous m'aider svp?

L'énoncé est le suivant: on considère une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ donnée par:

$f(x)=-x^2+x+2$ si $x

gb0 · December 2006

Sur $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$, ta fonction est clairement continue et dérivable.
Reste le problème du raccord en 0.

Tu détermines les limites à droite et à gauche de $f$ en 0 ; $f$ est continue sur $\R$ ssi ces deux limites sont égales.

Dans le cas de continuité (sinon $f$ ne peut pas être dérivable). Tu calcules les dérivées à droite et à gauche de $f$ en 0 ; $f$ est dérivable sur $\R$ ssi ces deux dérivées sont égales.

arno_nora · December 2006

Pour la continuité en 0
trouve une condition sur m et n pour que
- $\displaystyle \lim_{x\longrightarrow 0, x0}f(x)$ existe
- ces deux limites soient égales à f(0)

et que dire de la continuité en un point autre que 0 ??

julie2 · December 2006

Merci de vos réponses, je vais voir ce que je peux faire ..
et que dire de la continuité en un point autre que 0 ??
Je ne sais pas ... quoi donc ?

julie2 · December 2006

Voici ce que j'ai rédigé pour la première question. Pouvez-vous me dire si c'est juste, et surtout convenablement rédigé? Merci.

On cherche à déterminer l'ensemble $C=\{(m,n) \in \mathbb{R^2} /$ $ f$ est continue sur $ \mathbb{R}\}$.

Si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, alors $\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$, et ce $\forall x_0 \in \mathbb{R}$.

Sur $]- \infty,0[$, $f$ est continue. { \bf [Comment le justifier? ]}
Sur $]0,+ \infty[$, $f$ est continue. { \bf [Comment le justifier? ]}

En $0$:

$\lim_{x \rightarrow 0-} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0+} f(x) = f(0)$

$\lim_{x \rightarrow 0-} f(x) = 2$
$\lim_{x \rightarrow 0+} f(x) = n$

De là, on en déduit que $(m,n)=(a,2)$, $a \in \mathbb{R}$.
Une question: quand on me demande de \underline{déterminer} l'ensemble $C$, à partir de ce que je viens de trouver, comment répondre à la question? En écrivant $C=\{(a,2), \, a \in \mathbb{R^2}\}$ ?

Merci d'avance.

skyrmion · December 2006

Bonsoir Julie,

On sait qu'un somme de fonctions continues est continue. Les fonctions $x\mapsto x^2$, $x\mapsto x+2$ sont continues, donc par somme, $f$ est continue sur $]0,-\infty[$.

Pour la dérivabilité sur $]0,-\infty[$ et $]0,+\infty[$, tu procèdes pareil en disant qu'une somme de fonctions dérivables est dérivable.

Puisque $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=2$ et que $\displaystyle \lim_{x\to 0^-}f(x)=n$, pour que $f$ soit continue en $0$, il faut comme tu le dis que $n=2$.

Pour ce qui concerne la dérivabilité en $0$, on calcule les nombres dérivés à droite et à gauche en $0$ :

$$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.$$
Pour que $f$ soit dérivable en $0$, il faut que c'est deux nombres dérivés coincident.

cordialement,

sk.

skyrmion · December 2006

Bonsoir Julie,

On sait qu'un somme de fonctions continues est continue. Les fonctions $x\mapsto x^2$, $x\mapsto x+2$ sont continues, donc par somme, $f$ est continue sur $]0,-\infty[$.

Pour la dérivabilité sur $]0,-\infty[$ et $]0,+\infty[$, tu procèdes pareil en disant qu'une somme de fonctions dérivables est dérivable.

Puisque $\displaystyle \lim_{x\to 0^+}f(x)=2$ et que $\displaystyle \lim_{x\to 0^-}f(x)=n$, pour que $f$ soit continue en $0$, il faut comme tu le dis que $n=2$.

Pour ce qui concerne la dérivabilité en $0$, on calcule les nombres dérivés à droite et à gauche en $0$ :

$$\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.$$
Pour que $f$ soit dérivable en $0$, il faut que ces deux nombres dérivés coincident.

cordialement,

sk.

Bati · December 2006

Sur $]- \infty,0[$, $f$ est une fonction polynôme donc $f$ y est partt dérivable donc continue. Cela ne te suffit pas ? Même approche sur $]0,+\infty[$.

julie2 · December 2006

Merci à vous pour vos réponses! Cependant, je repose une de mes questions:

Quand on me demande de {\bf déterminer} l'ensemble $C$, à partir de ce que je viens de trouver, comment répondre à la question? En écrivant $ C=\{(a,2), \, a \in \mathbb{R^2}\}$ ?

julie2 · December 2006

D'ailleurs, { \bf pourquoi} considère-t-on la continuité au point $0$ en particulier? Je ne comprends pas tellement ce que $0$ a de particulier ici...

nicolas.patrois · December 2006

Le cas de 0 pose problème parce que, comme gb l’a écrit, il y a un problème de raccord en 0.
Trace quelques courbes, et tu vas bien voir ce qui cloche dans la plupart des cas.
Du côté gauche, tu as une parabole fixe, du côté droit, tu as une droite qui peut bouger, tant sa pente que son ordonnée à l’origine. Or la droite doit prolonger la parabole en 0 pour que la fonction ainsi définie soit continue puis dérivable.
Je rappelle que continue signifie, intuitivement, que tu peux la tracer sans lever le crayon, et dérivable, que le tracé n’a pas en plus de piquant.

Sedanais · December 2006

oui Julie, tu peux écrire C={(a,2), a dans R}.

Au niveau de la rédaction, il faut faire attention : on demande des conitions nécessaires et suffisantes.
Donc il faut écrire :
- si f est continue, alors... et on arrive à n=2.
- et réciproquement, si n=2, alors... f est bien continue.
Conclusion : on a C={(a,2), a dans R}

Sedan est à l'agonie.

julie2 · December 2006

Ok, merci de vos réponses! J'ai encore deux questions ...

{ \bf 1°)} Pour la réciproque, comment dois-je continuer quand je suppose $n=2$.

{ \bf 2°)} Concernant la dérivabilité, voir post initial, j'hésite entre ces deux réponses:

Au début, j'aurais eu tendance à écrire:

$ (m,n)=(1,n)$, $ n \in \mathbb{R}$.

Mais après réflexion, la fonction $f$ ne peut être dérivable que si elle est continue. Donc, nécessairement, il faut également $n=2$, d'où

$ (m,n)=(1,2)$, $ n \in \mathbb{R}$.

>>> Qu'en pensez-vous?

Continuité et dérivabilité d'une fonction

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