Définition et Si et seulement SI

oui mon cher Richard, sous le titre :"définition et ssi".
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=319879&t=319409&gt;

je suis d'accord avec Llautard, le problème est que dans la langue française il n'y a pas d'expression toute faite pour "donner un nom à une relation", donc certains utilisent le si, d'autres le si et seulement si, après tout le si et seulement si n'est pas illogique en soi, une relatino est toujours équivalente à elle meme

bonjour,
l'argument de toutoune n'est pas très convaincant : chaque fois que l'on rencontre Lncvx(f), on remplace mentalement par cvx(ln(f)) et il n'y a effectivement pas de ssi. (conseil de Blaise Pascal

Par contre, que se passe-t-il avec les définitions "récursives" comme on en rencontre souvent dans l'étude des langages ?
Exemple basique : j'ai un alphabet de deux symboles, une lettre "a" et un signe fonctionnel "f" d'arité 2. Dans l'ensemble M des mots (suites finies construites avec ces symboles), je définis la propriété "x est un terme" par :

x est un terme ssi
a) ou bien x est la lettre a,
b) ou bien x est le mot "fyz" où y et z sont des termes.

Cette définition est parfaitement légitime (on démontre facilement qu'il existe une unique partie T de M vérifiant pour tout x, x€T ssi (x=a ou il existe y,z € T et x = f y z). La relation "x est un terme" est alors x € T.

Je serais curieux de savoir de quelle relation Liautard pense que "x est un terme" est le nom et qui permettrait de se passer du ssi !

L’arité est le nombre de termes que prend la relation.
L’addition est binaire, le signe est unaire.
Si on coupe les cheveux en quatre, on peut très bien dire que l’addition est ternaire (c’est une relation entre trois termes, par exemple 1+2=3 est vraie alors que 1+2=4 est fausse).

GG, je trouve l'argument de toutoune très convainqant. Pour pouvoir remplacer comme tu dis la nouvelle relation par l'ancienne, il faut - si l'on formalise un peu ce qui est nécessaire puisque la question est bien une question de forme - faire une démonstration qui démontrera l'expression avec le remplacement à partir de l'expression initiale. Pour cela, on doit bien utiliser un axiome utilisant la nouvelle expression, cet axiome qui est équivalent à une définition de la nouvelle relation, exprimera l'équivalence logique , ssi, de l'ancienne relation avec la nouvelle.

Pour bien comprendre mon argument, il faut comprendre que dans une formalisation des mathématiques dans une langage du premier ordre, il n'y a pas de définition de nouvelles relations ! Les relations sont données par le langage, adjoindre une nouvelle relation c'est changer de langage. Donner une nouvelle relation, c'est définir un langage L' sur-ensemble d'un langage L. Cependant, on souhaite que ces deux langages exprime la même chose, d'où la nécessiter de définir une transformation inversible d'un langage dans l'autre, qui fasse "commuter" les démonstrations (informellement : D = T D' T^-1 ) . Pour cela, le deuxième langage doit bien contenir un nouvel axiome de la forme "nouvelle relation de L' ssi ancienne relation dans L".

Bon, j'avoue cet argumentation est de mon fait, mais c'est la seule façon pour moi de bien comprendre ce que veut dire une "définition".

J'ai toujours pensé que les discussions sur le "si et seulement si" de définition tenaient de la sodomie des diptéères. J'en suis de plus en plus convaincu en lisant ce post, ainsi que le précédent dont il est issu.

Le problème est en fait de savoir si les mathématiques sont formelles, ou formalisables. Je pense que beaucoup diront qu'elles sont formelles, mais ne pratiquent que des mathématiques formalisables.

En la théorie des ensembles par exemple, on est régulièrement confronté à l'énoncé
$\forall x (x \in a \Rightarrow \Rightarrow x \in b)$ ; considérons alors le statut de l'énoncé $a \subset b$.

Si l'on fait des mathématiques formelles, cet énoncé ne fait pas partie du langage du langage de la théorie des ensembles, mais d'un nouveau langage, et il faut un axiome (au moins) pour pouvoir le manipuler. Ce sera évidemment
$$a \subset b \Leftrightarrow \forall x (x \in a \Rightarrow \Rightarrow x \in b)$$

Si l'on se contente de mathématiques formalisables, on dira que $a \subset b$ est une abréviation de $\forall x (x \in a \Rightarrow \Rightarrow x \in b)$, abréviation fort utile pour cause de lisibilité (exactement comme lorsque l'on écrit "st." pour "saint"). Il faut alraos faire l'exercice fastidieux d'écrire explicitement quelques énoncés en éliminant toutes les abréviations, pour rester "formalisable".

Dans la pratique courante, on n'écrit un texte mathématique ni en langage formel, ni en langage formalisable (= formel avec abréviation), mais essentiellement en français (ou en chinois si l'on est chinois).
On ne cherche donc pas à définir un symbole relationne d'arité 2, l'inclusion, mais l'usage que l'on entend réserver, dans un texte mathématique, à l'expression "est inclus dans".

Je reprend la synthèse proposée par bs sur le triangle rectangle. Il y a une différence essentielle entre

le barbu rasé:............un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
GuYem........................un triangle est dit rectangle si il possède un angle droit.
Sigma.........................un triangle est rectangle lorsqu'il a un angle droit.
ezize 1........................un triangle rectangle est dit d'un triangle ayant un angle droit.
ezize 2........................un triangle ayant un angle droit est dit triangle rectangle.
ezize 3........................un triangle ayant un angle droit est appelé triangle rectangle.

qui ne sont différentes façons d'expliciter la même idée en français du même genre que
le loup mange l'agneau {\it vs} l'agneau est mangé par le loup.

et
caractérisation:..........un triangle est rectangle ssi il vérifie l'égalité de Pythagore.
où l'on donne, par le "ssi" une équivalence mathématique entre deux énoncés, que l'on ne se donne pas la peine d'écrire formellement.


geo va dans ce sens lorsqu'il écrit :
une fonction croissante sur est une fonction qui vérifie $\forall x,y \in I \ (x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y))$
il indique comment énoncer, en français, une propriété formelle.
Toutefois, je lui signale que, en bon français, une fonction croissante satisfait à la propriété $\forall x,y \in I \ (x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y))$ ; c'est le mathématicien (le pauvre) qui doit se payer la vérification afin de pouvoir asserter l'expression française correspondante.

Mais cet amalgame irrite tout de même parfois le jury de concours, dans un rapport de jury de l'agregation interne de 2001 je pense (à vérifier), il s'est dit courroussé par cette confusion émanant de professeurs exerçant déjà.
Donc il faut faire gaffe de ne pas froisser le jury ou alors d'avoir un argumentaire béton comme celui de GG ou toutoune ...