équation aux dérivées partielles

yenamar
yenamar
dans Analyse
Salut :)

J'ai montré que $\phi(x,y)=\frac{y}{x}$ était solution de $$x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}=0$$

Soit $g$ une fonction de classe $C^1$ sur $\R$ et à valeurs dans $\R$

On me demande de montrer que $gof$ est solution de l'équation.

Comment faire ?

Je ne me souviens plus de la formule de dérivée partielle d'un composée.

Merci

yenamar

Réponses

  • egoroff
    egoroff
    Salut,

    Euh en l'occurrence la composée n'est pas trop compliquée, il faut surtout connaître la définition d'une dérivée partielle, savoir par exemple qu'on fixe une des deux variables et qu'on dérive par rapport à l'autre (ici on va devoir dériver $g(x/a)$ et $g(b/y)$) Et savoir utiliser la formule de la dérivée "simple" d'une composée "simple".
  • LIautard4
    LIautard4
    Bonjour


    soit R=(x,y) on a Df(R)=0 Df est prise au point R

    Donc Dg°f(R)=Dg°Df(R)=0 Dg est prise en f(R)


    Cordialement
  • yenamar
    yenamar
    J'ai compris :)

    Merci à vous ;)
  • yenamar
    yenamar
    J'ai peut-être parlé un peu vite ... !

    A-t-on alors : $$\frac{\partial}{\partial x}(g(\frac{y}{x}))=-\frac{y}{x^2}\frac{\partial g}{\partial x} (\frac{y}{x})$$
  • egoroff
    egoroff
    Mais...

    La fonction $g$ est à combien de variables ?
  • yenamar
    yenamar
    2 variables, je réfléchis...
  • yenamar
    yenamar
    On utilise la règle de la chaine, même là je ne vois pas !

    MErci
  • yenamar
    yenamar
    Non je ne vois pas
  • egoroff
    egoroff
    Ben, quelle est la définition de $g$ dans ton énoncé ? Déduis-en le nombre de variables que prend $g$. Déduis-en finalement que tu te poses trop de questions ;-)
  • yenamar
    yenamar
    Bah on a : $$g -> C^1(\R,\R)$$
  • egoroff
    egoroff
    Non je crois que $g \in C^1(\R,\R)$. Donc $g$ a combien de variables (on va y arriver) ?
  • yenamar
    yenamar
    1 variable

    J'espère arriver au bout xD
  • egoroff
    egoroff
    Oui, courage !

    Donc $g$ à une variable ; il n'y a pas lieu de parler de dérivées partielles en ce qui concerne $g$, il suffit de parler de $g'$. Et on a $\displaystyle \frac{\partial}{\partial x} \left( g \left( \frac{y}{x} \right) \right) = -\frac{y}{x^2} g' \left( \frac{y}{x} \right)$.
  • yenamar
    yenamar
    Merci ça marche :D
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