Exo proche du TAF

Salut

C'est faux, regarde la fonction $x \mapsto x^2$ sur $[0,1]$.

Etudie la fonction $x \mapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a} -f'(x)$ qui est prolongeable par continuité en a.

Ciao

Le post de gb :

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Bonne remarque, pourtant la méthode de Guimauve fonctionne parce l'on sait (résultat dû à Darboux) que $f'$, même discontinue, satisfait au théorème des valeurs intermédiaires.

La condition $\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a} = f'(c)$ signifie que la tangente au graphe de $f$ au point $(c,f(c))$ passe par le point $(a,f(a))$. On a donc a priori deux méthodes :
1) la tangente au graphe de $f$ en $(x,f(x)$ passe par le point $(a,g(x))$. On montre, par valeurs intermédiaires, que $g$ prend la valeur $a$
2) la droite définie par les points $(a,f(a))$ et $(x,f(x))$ a pour pente $p(x)$. Elle est tangente au graphe de $f$ en $(x,f(x)$ lorsque $p$ admet un extremum local en x.

Il me semble qu'ici la deuxième méthode est la meilleure. On raisonne comme pour le théorème de Rolle. $p$, définie et continue sur $]a,b]$, se prolonge par continuité avec $p(a) = f'(a)$, donc est bornée et atteint ses bornes sur $[a,b]$. On montre que ces bornes ne peuvent être $p(a)$ et $p(b)$. L'une d'elles est ainsi atteinte en un point $c$ de $]a,b[$.