Compact =>dénombrable?

Charles57
Charles57
dans Topologie
Bonsoir communauté mathématiques

Je me posais une question à tout hasard : Est-ce qu'un ensemble E compact est également dénombrable? Je me disais que comme E est fermé et bornée, c'est un ensemble fini donc dénombrable... Mais bon, j'ai peut être une erreur de raisonnement. Je compte sur vous pour me dire ce qu'il en est.
Merci beaucoup.

Réponses

  • ryo
    ryo
    l'intervalle $[0,1]$ est compact non denombrable

    ce qui est vrai par contre c'est K compact => K a au plus la puissance du continu. Bon il doit falloir rajouter une hyp sur l'espace de depart pour pas avoir de truc bizarre mais en tout cas c vrai dans un metrique
  • Charles57
    Charles57
    Ah ok merci beaucoup.
  • TheVelho
    TheVelho
    Pourquoi est-ce vrai dans un métrique, ryo ?

    En tout cas étant donné que le produit quelconque d'espaces topologiques compacts reste compact on peut obtenir des compacts de cardinal aussi grand qu'on veut.
  • ryo
    ryo
    Alors c tres bien fait dans le chambert-loir d'analyse (le 1 ou 2 je sais plus) (c des exos corriges pour l'agreg)

    il fait ca dans un espace metrique et sur le coup ca m'avait bien bluffe.je m'etais dit qu'on pouvais sans doute generaliser a plus complique avec qques hypotheses quand meme mais commme je suis plus que mauvais des que j'ai plus de distance j'avais pas cherche


    mais en fait ton objection me fait douter alors j'essaie :
    on se donne $(E,d)$ un espace metrique et $K$ un compact de $E$
    donc on se donne $\varepsilon >0$ et on a $K=\bigcup B(x,\varepsilon)$ ou l'union est prise sur tous les elts de $K$
    On en extrait un sous recouvrement fini par compacite et donc ca reviendrai a montrer que chq boule ouverte de centre $x_n$ et de rayon $\varepsilon$ a au plus la puissance du continu..mouais

    alors la je vois pas et evidemment g pas le bouquin sous la main, mais bon faudrait quand meme que j'utilise ma distance
    si une idee me vient demain ou si un topologue distingue peut me confirmer ou m'infirmer mon truc je le remercie parce que la g pas fait gd chose qd meme (il fau peut-etre particulariser le $\epsilon$ parce que je vois pas bien l'interet de le garder quelcoque?)
  • DeDey
    DeDey
    En fait, pour chaque N dans $\N*$ il éxiste des éléments $x_(N,1)$,...,$x_(N,n)$ tels que notre compact métrique soit recouvert par la réunion des $B(x_(N,i);1/N)$, i allant de 1 à n.
    L'ensemble X des $x_(N,i)$ ainsi créés est donc dénombrable et dense dans K. (Donc K est séparable).Tout point de K est limite d'une suite de X, donc le cardinal de K est au plus celui de l ensemble des suites à valeurs entières: la puissance du continu.
    On montre aussi qu'il existe une application continue surjective de (K,d) dans le triadique de Cantor (Cf Chambert-Loir Tome 1)
    Il y a aussi des espaces classifiant les espaces métriques compacts:
    $I^\omega$:=$[0,1]^\N$ est métrisable, compact et si K est un espace métrique compact alors il éxiste une application K-->$I^\omega$ injective qui est un homéomorphisme de K sur son image.
  • topoloser
    topoloser
    Je passais par là,j'ai vu de la lumière, et c'est diffiile de ne pas réagir:
    tout compact métrisable est image continue du Cantor, et pas l'inverse!
    Déjà, ça ne serait pas facile d'envoyer un ensemble à un point (qui est quand même très très compact) sur le Cantor; moins trivialement, unléger problème de connexité fait qu'il n'y a pas des masses d'applications continues de$[0,1]$ dans le Cantor...
  • Probaloser
    Probaloser
    Mes salutations à topoloser (tiens faut que je réponde à ton mail).
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