paradoxe Banach Tarski

polux0
polux0
dans Fondements et Logique
Bonjour

Je me demandais comment arriver à concilier la théorie de la mesure et le paradoxe de Banach-Tarski.

Merci

Réponses

  • chris26
    chris26
    Les morceaux de boule de ce paradoxe sont des parties non mesurables de $\R^3$.
  • polux0
    polux0
    oui mais comment cela se fait il, les spheres sont mesurables dans R^3,non? et l'on découpe bien la sphere de facon a obtenir deux sphères?
  • Guego0
    Guego0
    Oui, mais on découpe en morceaux non mesurables.
  • polux0
    polux0
    c justement cette partie que j'ai du mal a comprendre, on découpe en morceaux non mésurables mais lorsqu'on recolle ces morceaux pour faire des les 2 sphères cela devrait redenir mesurables. C'est ce passage mesurable,non mesurable et ensuite on devrait revenir dans le mesurable et ce n'est pas le cas .Pourquoi?
  • gb0
    gb0
    Cela veut simplement dire que les morceaux ne peuvent modéliser des objets réels du monde physique.
  • jobherzt
    jobherzt
    En fait, la notion de mesure etend celle de volume. donc des qu'on passe par des ensembles non mesurables, on a des parties de $\R^3$ pour lesquelles la notion de volume n'est absolument pas definie. donc il n'y a pas de contradiction a reconstruire un objet qui a un vlume plus gros, vu qu'on perd la notion de volume pendant certaine des etapes du processus.
  • egoroff
    egoroff
    Bon, appelons $A$ le premier objet, $B$ le second, $\mu$ la mesure, et $C_i$ les morceaux tels que $A$ soit l'union disjointe des $C_i$ et $B$ l'union disjointe des $f_i(C_i)$ où les $f_i$ sont des isométries. Une démo du fait que $\mu(A)=\mu(B)$ s'écrirait $\mu(A)=\sum_{i=1}^n \mu(C_i)=\sum_{i=1}^n \mu(f_i(C_i)) = \mu(B)$. Mais pour pouvoir écrire ça il faut que $\mu(C_i)$ sont bien défini et ce n'est pas le cas si $C_i$ n'est pas mesurable.
  • polux0
    polux0
    Merci Egoroff, c'est un peu plus clair. Une autre question, si l'on réfute l'axiome du choix, tous les ensembles de R sont Lebesgue mesurable (je connais la démonstration), existe-t-il une théorie de la "mesure" sans axiome du choix.

    Merci d'avance.
  • Mauricio4
    Mauricio4
    Egoroff: si tu as le temps, est-ce que tu peux rappeler precisement la construction de Banach-Tarski et eventuellement une reference. Merci.
    Mauricio
  • jobherzt
    jobherzt
    polux> ben oui, ca donne une theorie de la mesure ou tous les sous ensembles de $\R^3$ sont mesurables. Ou alors je ne comprends pas ta question? Cependant, sache qu'en general, l'unique interet des ensembles non mesurables qu'on construit... est de ne pas etre mesurable, justement. autrement dit ils sont construits "ad hoc" pour exhiber un exemple d'un tel ensemble, mais on ne les rencontres pas en pratique. donc fondamentalement, l'usage reel qu'on fait de la notion de mesure ne varie pas vraiment suivant le choix si je puis dire) qu'on fait..

    Mauricio> Un petit coup de google me donne ca : \lien{http://www.madore.org/~david/math/bantar.pdf}

    je ne sais pas ce que ca vaut. J'avas vu a la BU un petit livre rouge, assez court et clair qui reprenanit la demo (je me demande meme si ca n'etait pa l'article original), mais je n'ai plus les references en tete.
  • Mauricio4
    Mauricio4
    Merci, pour la ref. J'avais en tete un exemple avec une sphere, en prenant des orbites sous l'actions de trois rotations (je ne me rappelle plus bien de la construction)...
    Mauricio
  • egoroff
    egoroff
    Salut Mauricio. J'ai le même exemple que toi en tête, il s'agit d'un sous-groupe libre non ? Il me semble que c'est fait dans le Alessandri mais je ne suis plus trop sûr, je vais essayer de chercher !
  • Guego0
    Guego0
    Egoroff, Mauricio : c'est à ça que vous pensiez :
    <BR><a href=" http://www.umpa.ens-lyon.fr/JME/Vol1Num1/artAReissman/artAReissman.pdf "> http://www.umpa.ens-lyon.fr/JME/Vol1Num1/artAReissman/artAReissman.pdf </a> ?<BR>
  • egoroff
    egoroff
    Non ce n'est pas celui-là non plus :-(

    Mais ce papier a l'air très bien, tout comme celui proposé par jobhertz. Je les ai enregistrés !
  • Gecko
    Gecko
    Salut
    il y a aussi le sujet de capes 2004
    qui traite du paradoxe avec des sphères.
  • topoloser
    topoloser
    Il y a un bouquin de Wagon sur le paradoxe de Banach-Tarski, dont j'ai gardé un bon souvenir(un peu flou hélas); sinon il y a plein de références qui parlent de ce paradoxe. L'idée sous-jacente est à la base de beaucoup de constructions en théorie géométrique des groupes: cela vient effectivemet du fait que le groupe des rotations de $\R^3$ contient un sous-groupe libre, et que ces derniers ont des actions étranges (cf le "ping-pong lemma").
    Notons d'ailleurs qu'étonnamment les pièces n'ont pas besoin d'être vraiment abominables, on peut par exemple faire une décomposition paradoxale de la sphère avec des pièces Baire-mesurables (résultat absolument pas trivial et dont je n'ai aucune idée de comment il se démontre, mais dont on peut je crois télécharger la preuve, ou au moins une référence à l'article où elle a été publiée, sur la pag web de Matt Foreman)...
    Sinon, c'est faux de dire "si l'on réfute l'axiome du choix, tous les ensembles de réels sont mesurables": l'axiome en question est strictement plus fort que l'axiome du choix! Et la preuve du fait que cet axiome est consistant avec ZF n'est pas si évidente (c'est un résultat célèbre dû à Solovay), je me demande quelle "démonstration" polux avait en tête...
  • houcine1
    houcine1
    jobherzt Écrivait:
    > En fait, la notion de mesure etend celle de
    > volume. donc des qu'on passe par des ensembles non
    > mesurables, on a des parties de $\R^3$ pour
    > lesquelles la notion de volume n'est absolument
    > pas definie. donc il n'y a pas de contradiction a
    > reconstruire un objet qui a un vlume plus gros, vu
    > qu'on perd la notion de volume pendant certaine
    > des etapes du processus.
  • samok
    samok
    Bonsoir

    édité, épuisé, ré-édité, épuisé? "Le paradoxe de Banach-Tarski" M.Guinot, éditions Aléas.
    J'en apprécie le ton et la rigueur.

    S
  • Yggdrazil
    Yggdrazil
    T'as pas de chance, je fais mon mémoire de magistère sur le paradoxe, mais je n'ai tapé que les 3 premiers chapitres, qui concernent la démonstration :p normalement d'ici 1 semaine je l'aurai fini si tu veux, avec justement les 2 derniers chapitres qui sont sur le lien en question avec la théorie de la mesure :)

    M'enfin (< 3 Gaston), de toute façon je me suis fortement inspiré de Wagon et Guinot, donc si tu préfères te procurer les livres ça reviendra au même :p

    Je les ai commandées tous les 2 chez Amazone, 12 euros avec frais de port pour celui de M. Guinot, c'est franchement pas cher :) Celui de Wagon par contre m'a couté 32 euros, mais il est importé d'Angleterre :)

    Edit : juste une dernière précision... Le bouquin de Guinot est très court (mais complet) et ne fait que construire le paradoxe puis vaguement (et assez rapidement) étudier le problème de la mesure universelle, alors que celui de Wagon est plutôt énorme, et les approches sont différentes.

    Pour te donner une idée, Guinot démontre le paradoxe au bout de 10 ou 11 chapitres assez longs, et Wagon dès le début du 2ème chapitre, alors qu'il y en a 13, donc tu vois le nombre de développements effectués pas Wagon ... :)
  • Yggdrazil
    Yggdrazil
    Pour les acheter :

    Le livre de Stan Wagon

    Le livre de Marc Guinot (qui passe de temps en temps à l'IREM de Strasbourg, parait-il d'après la bibliothécaire, quand il est de visite en métropole :p)
  • Mauricio4
    Mauricio4
    Guego; Jobhertz: avec presque une annee de retard, merci pour ces references. Guego, c'est exactement cette construction que j'avais oubliee.

    M.
  • cedric561
    cedric561
    Bonjour, juste par curiosité,
    savez vous ce que Marc Guinot fait dans la vie?
  • Yggdrazil
    Yggdrazil
    Retraité :D
  • routier
    routier
    Si on se place dans les points rationnels de la sphère, le paradoxe est vrai (existence d'un sous-groupe libre de SO(3,\Q) sans axiome du choix), d'après ce qu'on m'a dit. Comme quoi l'arithmétique, ça torshe ! Et en caractéristique p, ça marche aussi ?
  • Incredule
    Incredule
    Je ne comprends pas très bien ce que tu veux dire routier. Tu pourrais être plus précis ?
  • Yggdrazil
    Yggdrazil
    Il existe un paradoxe du même genre que le paradoxe de Banach-Tarski, sans axiome du choix : le paradoxe de Dougherty-Foreman :)

    [tex]Si $A$ et $B$ sont des ensembles ouverts bornés non vides de $\mathbb{R}^{m}$ (avec $m \geq 3$), alors il existe des ensembles ouverts $A_{1},...,A_{n}$ deux à deux disjoints, contenus dans $A$, et des ensembles ouverts $B_{1},...,B_{n}$ deux à deux disjoints, contenus dans $B$, se déduisant les uns des autres par isométrie ($A_{1}$ avec $B_{1}$, $A_{2}$ avec $B_{2}$, etc) tels que $A$ et $B$ soient contenus respectivement dans l'adhérence de $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}A_{i}$ et dans l'adhérence de $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n}B_{i}$.[/tex]

    Concrètement, cela signifie qu'il est possible de déterminer à l'intérieur d'une boule aussi grosse que VV Cephei A (une étoile supergéante rouge près de 1500 fois plus grosse que le soleil !) des ensembles ouverts deux à deux disjoints, en nombre fini, ne laissant dans cette boule aucun trou de rayon strictement positif, puis de réarranger ces morceaux par simple déplacement, en les laissant disjoints, de manière à ce qu'ils rentrent dans une autre boule de la taille d'un grain de sable... Et non seulement ces ensembles sont définis sans l'axiome du choix, mais en plus ils sont boréliens (car ouverts) et donc mesurables !
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    La théorie des "cardinaux" évoquée dans les messages de Michel Coste ne pourrait-elle pas simplifier la résolution du paradoxe de Banach Tarski?

    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,407834,page=1
  • zboob
    zboob
    Les mathematiciens ne se prennent ils pas la tete pour dire qu avec des "grands" ciseaux pouvant couper une étoile en tout "petits" bouts et en "grands" nombres
    10^100 on pourrait refaire un grain de sable ( ou l'inverse ;-)). Alors la je dis bravo. C est plus simple de trouver le prochain tirage du loto non? Mais bon je dérive. ma question est donc : pouvez vous me citer un exemple d application scentifique du paradoxe de Dougherty-Foreman (qui n utilise pas l axiome du choix) svp?
    Merci d avance
  • Remarque0
    Remarque0
    Je ne vois pas trop ce que cette propriété peut avoir de paradoxal.
  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    Mais vous n'avez toujours pas répondu à ma question :

    Le cardinal en question dans $\R^3$ ne néglige ni les solides, ni les surfaces, ni les courbes, ni les points,

    qu'on en retire ou qu'on en rajoute.


    J'attends toujours vos réponses.
  • Remarque0
    Remarque0
    Il n'y a pas de résolution à chercher puisque ce n'est pas un paradoxe. C'est un théorème dans une certaine axiomatique.
  • routier
    routier
    Une axiomatique c'est comme une proposition ?
  • christophe c
    christophe c
    Pour répondre aux premiers posts de fils (5 ou 6), il est un peu "euphémique" de se contenter de dire au questionneur que les morceaux sont non mesurables...

    L'intérêt de cette preuve de BT, c'est qu'elle "prouve" que non seulement:

    1) il existe des ensembles non mesurables (mais bon...)

    2) qu'il n'existe AUCUNE mesure invariante par déplacements qui les mesure, même SI ON NE SUPPOSE PAS QUE LA MESURE EST SIGMA ADDITIVE

    3) qu'il n'existe AUCUNE MESURE invariante EXTERIEURE A L'UNIVERS QUI LES MESURE.

    Il est assez rare, en maths, que quand on prouve un "aucun truc blabla", on puisse étendre la preuve à "aucun truc même extérieur à l'univers dans lequel on a fait le raisonnement, blabla"

    C'est un résultat important, et bien occulté par les "mauvaises volontés" qui souhaitent "tout mesurer" sans s'interroger plus.

    A noter que les exemples habituels d'ensembles non mesurables, l'étaient (non mesurables) pour la mesure de Lebesgues, et en gros c'étaient tout, et de plus, certains autres exemples ne résistent pas quand on enlève "sigma additif".

    Quant à "mesure extérieure", n'en parlons même pas...

    Contrairement à ce qu'on raconte souvent, je crois que BT devraient plus nous inviter à remettre en cause la notion d'espace+masse, plutôt que l'axiome du choix. De plus, la physique a enterré depuis lgtps la notion d'espace-cadre où tout se jouerait: rel générale qui le rend partie prenante et dynamique et MQ qui jette tout à la poubelle d'un clin d'oeil.

    Remarque: (je n'en suis pas sûr), je crois qu'il y a un th qui dit qu'il existe des mesures invariantes* sur IR, ainsi que sur IR² qui mesurent tous leurs sous ensembles (pas sigma additive of course). Ainsi, c'est à IR^3 que commence les surprises

    *par déplacements
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • douhadji
    douhadji
    comment illustrer cette contradiction.les deux volumes obtenues ressemblent aux premiers mais non pas le meme volume;exemple de l'intervalle 01 dans R est clair
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Français