Densite de exp(a.n.i) dans le cercle unité

Oliv · November 2006

Bonjour a tous,

Je recherche une aide pour montrer la densite de $\exp(\alpha n i)$
ou $n\in\N$ et $\alpha\in\R$ dans le cercle unite.

Merci pour votre aide.

Cordialement

Olivier

egoroff · November 2006

Salut,

Ce n'est vrai que si $\alpha / \pi$ est irrationnel : sinon, la suite est périodique. Indication : que peux-tu dire du sous-groupe $\alpha \Z + 2 \pi \Z$ de $\R$ ?

Oliv · November 2006

Je me suis trompe, je parlais de la suite $\exp(2\pi\alpha n i)$ avec $\alpha$ irrationnel. Merci d'avoir eclaire mon enonce.

Le truc serait donc, de demontrer que $ \alpha \mathbb{Z}+ 2 \pi \mathbb{Z}$ est dense dans $ \mathbb{R}$ ?

Mais la, je retombe sur un probleme sur lequel je me penche, plus general :

Montrer qu'un sous groupe infini de T (cercle unite) est dense dans
T !

C'est mon premier message (file) sur ce forum, je fais des maths par plaisir,
je ne suis ni prof, ni etudiant, ni en train de passer des concours.
Je remercie tous les forumeurs pour leurs remarques

pour m'aider a progresser

Gecko · November 2006

Salut
tu as un groupe infini sur le cercle, il y a au moins un point d'accumulation (le cercle est compact)

Il faut maintenant ce servir de cette suite extraite pour recupere la densité.
(tout voisinage de d rencontre la suite en question)

en fait la demonstration se fait comme dans R

Toru · November 2006

c'est marrant de noter qu'il n'existe pas de sous-groupe non trivial du cercle unité de mesure strictement positive

le pere noel est une ordure · November 2006

ca me parait clair que $\aplha \Z + 2 \pi \Z$ dense dans $\R$ puisque la borne inf de ses éléments positifs est zero. POur s'en convaincre, on cree 2 suites d'entiers $a_n$ et $b_n$ telle que $a_n.\alpha + b_n.2 \pi$ soit aussi petit que l'on le souhaite.

En effet il suffit de prendre une suite de rationnels $\frac{a_n}{b_n}$ convergeant vers $\frac{\pi}{\alpha}$. Puisque la limite est irrationnelle, alors la suite n'est constante à partir d'aucun rang. Et donc on peut construire une suite d'éléments positifs (il faut pour cela choisir $\frac{a_n}{b_n}

le pere noel est une ordure · November 2006

bon petite coquilles : lire $2\pi \Z$ et non $\Z$ dans la premiere ligne.

Puis : la suite de rationnels doit ocnverger vers $2\pi$ et non $\pi$

t-mouss

Boonie · May 2007

Bonjour,

voilà,j'ai une petite question.
je comprends bien que si $\alpha / \pi$est irrationnel alors le sous-groupe $\alpha \Z + 2 \pi \Z$ de $\R$ est dense dans $\R$.
mais je ne compends pas pourquoi ceci nous permet de dire que $\exp(\alpha n i)$ est dense dans [-1,1].

pourriez m'expliquer svp??
merci bcq d'avance

Brother0 · May 2007

Dans [-1,1] ou le cercle unité ?

L' application $x \longrightarrow e^{ix}$ de $\R$ dans $\C$ est continue donc comme $\alpha \Z + 2 \pi \Z$ est dense dans $\R$, $e^{i(\alpha \Z + 2 \pi \Z)}$ est dense dans $e^{i\R}$, d' où $e^{i\alpha \Z}$ dense dans $U$

shadow1 · May 2007

Allez, une version sans passer par les sous-groupes de $\R$:

Le groupe est infini (sinon inclus dans l'ensemble des racines de l'unité, absurde), donc contient un point d'accumulation. La multiplication étant une opération continue, tout point est point d'accumulation, en particulier 1, donc ton groupe contient des élément des la forme $e^{i \theta_n }$ avec $| \theta_n | < 1/n $
A partir de là ce n'est plus très dur de conclure (par exemple, en utilisant la densité de $\Q$ dans $\R$)...

shadow

Boonie · May 2007

Brother Écrivait:

> Dans [-1,1] ou le cercle unité ?
>
> L' application $x \longrightarrow e^{ix}$ de $\R$ dans $\C$ est continue donc comme $\alpha \Z + 2 \pi \Z$ est dense dans $\R$,
> $e^{i(\alpha \Z + 2 \pi \Z)}$ est dense dans $e^{i\R}$, d'où $e^{i\alpha \Z}$ dense dans $U$

Aah ok!! merci beaucoup Brother! oui en effet il s'agit plutôt du cercle unité.
Merci à toi aussi Shadow pour cette autre version !
Bonne soirée!;)

geo · June 2007

comment peut t'on déduire la divergence, à partir de $e^{int}$ dense dans $\mathcal{C}$ , des suites $cos(nt)$ est $sin(nt)$ ?

merci

Aleg · June 2007

geo, on raisonne par l'absurde en supposant qu'elles convergent (de toute façon, elles sont de même nature, ça c'est facile à voir) : donc $(e^{int}$ convergerait, ce qui est quand même très difficile pour une suite dense sur le cercle...

Karl Weierstrass · January 2020

Bonjour, étant novice je n'ai pas bien compris la manière de montrer que la borne inférieur des éléments positifs de l'ensemble recherché est 0.
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ce détail et la suite ?
Merci d'avance :-)

Densite de exp(a.n.i) dans le cercle unité

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