calcul des dérivées partielles en un point

Une lecture trop rapide du sujet, m'avait fait penser que $f$ était prolongée par $f(0,0) = 0$, d'où la valeur de $f_{1}(0)$.
Commençons par ce prolongement ; pour $(x,y) \neq (0,0)$ :
$$|f(x,y)| \leq \dfrac{ | \sin(x^{3}) | + | \sin(y^{3}) | }{ x^{2} + y^{2} } \leq \dfrac{ | x^{3} | + |y^{3} | }{ x^{2} + y^{2} }$$
et
$$| x^{3} | + | y^{3} | \leq ( x^{2} + y^{2} )(|x| + |y|)$$
donc
$$|f(x,y)| \leq |x| + |y|$$
et le prolongement par continuité à l'origine.

Je corrige mon LaTeX. Il reste à calculer la limite, si elle existe, de
$$\dfrac{ f_{1}(t) - f_{1}(0) }{t} = -\dfrac{ \sin(t^{3}) }{t^{3}}$$
Puis tu recommences avec la seconde application partielle $f_{2} : t \mapsto f(t,0)$, qui ressemble beaucoup à la première

Bien évidemment, cela fonctionne si cette limite n'existe pas, ou existe en étant distincte de $\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)$.