limites de ln

MamzelleBulle0 · November 2006

Bonjour

Alors j'ai (Sn) la suite définie par Sn = $\sum_{k=1}^{n}$ 1/k, j'ai déja montré que (Sn) est croissante , que S(2n) - Sn $\geq$ 1/2 et que (Sn) diverge vers +$\infty$.

Je viens d'encadrer ln(k+1)-ln(k) ( par 0 et ln(2)) et on me demande d'en déduire que Sn $\sim$ ln(n) en +$\infty$.
En dessinant on voit très bien pourquoi la limite de Sn/ln(n) est egale a 1 mais je vois pas comment me servir du résultat précedent.

Ensuite je dois déduire de cette équivalence la limite en +$\infty$ et en 0 de ln.
Ici pareil je vois comment démontrer ces limites mais pas en me servant de l'équivalence demandée.

Merci

gb0 · November 2006

C'est la bonne vieille comparaison série-intégrale.
Encadre $\dfrac{1}{x}$ sur $[k,k+1]$, puis intègre les inégalités obtenues.

Tom-0 · November 2006

Ton encadrement de ln(k+1)-ln(k) est trop grossier, utilise plutôt le fait que :

ln(k+1)-ln(k) = intégrale de k à k+1 de dt/t

Tu peux ensuite encadrer à gauche par 1/(k+1) et à droite par 1/k.

MamzelleBulle0 · November 2006

Et donc ensuite je dois dire que comme ma différence est encadrer par 2 termes successifs de Sn alors elle est equivalente a ln, c'est bien ça?

Ensuite je dois pouvoir dire que 2 fonctions equivalentes en + l'infini ont la même limite en + l'infini, mais en 0 je fais comment?

Tom-0 · November 2006

Utilise ln(1/n) = - ln n pour la limite en 0

gb0 · November 2006

$\ln\left(\dfrac{1}{x}\right) = -\ln(x)$ ... et miracle !!!!!!!

MamzelleBulle0 · November 2006

Merci à vous 2 en effet j'ai le cerveau un peu fatigué !

Tom-0 · November 2006

(moi aussi, je ne sais pas pourquoi j'ai mis n

)

limites de ln

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